Лекции об уравнениях с частными производными, Петровский И.Г., 2009

Лекции об уравнениях с частными производными, Петровский И.Г., 2009.

   Автор этой книги является основоположником современной теории дифференциальных уравнений. Основу книги составили лекции, прочитанные студентам-математикам механико-математического факультета Московского государственного университета в тридцатых годах двадцатого столетия.
В книге рассматриваются три типа дифференциальных уравнений в частных производных: эллиптические, параболические и гиперболические. Для каждого типа исследуются вопросы существования и единственности решения и его непрерывной зависимости от заданных начальных и граничных условий.
Книга может быть рекомендована студентам математических и естественно-научных специальностей, в которых требуется знать и использовать уравнения в частных производных.




Корректность постановки задачи Коши.
Теорема Ковалевской утверждает существование аналитического решения задачи Коши для аналитических уравнений при аналитических начальных данных. Многие задачи физики сводятся к задаче Коши для аналитических уравнений при начальных данных, дифференцируемых несколько раз, но не аналитических. На первый взгляд кажется естественным такой метод решения этой задачи. Заданные начальные функции и их производные приближаем многочленами. По теореме Вейерштрасса такие многочлены можно выбрать так, что на всей рассматриваемой части плоскости t = to, где задаются условия Коши, разность между этими многочленами и соответствующими заданными функциями будет как угодно мала. По теореме Ковалевской для аналитических уравнений можно решить задачу Коши, если заменить прежние начальные условия новыми, аппроксимирующими прежние. Казалось бы, естественно ожидать, что это решение новой задачи Коши с начальными условиями в виде приближающих многочленов близко к решению той же задачи при прежних начальных данных, по крайней мере вблизи той части плоскости t = to, где задаются условия Коши. Но Адамар построил пример, который показывает, что дело иногда обстоит совсем не так.

СОДЕРЖАНИЕ.
Предисловие к третьему изданию.
Из предисловия к первому изданию.
Из предисловия ко второму изданию.
Глава 1. Введение. Классификация уравнений.
§1. Определения. Примеры.
§2. Задача Коши. Теорема Ковалевской.
§3. Обобщение задачи Коши. Понятие о характеристике.
§4. О единственности решения задачи Коши в области неаналитических функций.
§5. Приведение к каноническому виду в точке и классификация уравнений второго порядка с одной неизвестной функцией.
§6. Приведение к каноническому виду уравнения с частными производными второго порядка по двум независимым переменным в окрестности точки.
§7. Приведение к каноническому виду системы линейных уравнений с частными производными первого порядка по двум независимым переменным.
Глава 2. Гиперболические уравнения.
Раздел I ЗАДАЧА КОШИ В ОБЛАСТИ НЕАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
§8. Корректность постановки задачи Коши.
§9. Понятие об обобщенных решениях.
§10. Задача Коши для гиперболических систем с двумя независимыми переменными.
§11. Задача Коши для волнового уравнения. Теорема о единственности решения.
§12. Формулы, дающие решение задачи Коши для волнового уравнения.
§13. Исследование формул, дающих решение задачи Коши.
§14. Преобразования Лоренца.
§15. Математические основы специальной теории относительности.
§16. Обзор основных фактов в теории задачи Коши и некоторые исследования для общих гиперболических уравнений.
Раздел II КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛ.
§17.Введение.
§18. Единственность решения смешанной задачи.
§19. Непрерывная зависимость решения от начальных условий.
§20. Метод Фурье для уравнения струны.
§21. Общий метод Фурье (предварительное рассмотрение).
§22. Общие свойства собственных функций и собственных значений.
§23. Обоснование метода Фурье.
§24. Применение функции Грина к задаче о собственных значениях и к обоснованию метода Фурье.
§25. Изучение колебаний мембраны.
§26. Дополнительные сведения о собственных функциях и о разрешимости смешанной задачи для гиперболических уравнений.
Глава 3. Эллиптические уравнения.
§27. Введение.
§28. Свойство максимума и минимума и его следствия.
§29. Решение задачи Дирихле для круга.
§30. Теоремы об основных свойствах гармонических функций.
§31. Доказательство существования решения задачи Дирихле.
§32. Внешняя задача Дирихле.
§33. Вторая краевая задача.
§34. Теория потенциала.
§35. Решение краевых задач с помощью потенциалов.
§36. Метод сеток для приближенного решения задачи Дирихле.
§37. Обзор некоторых результатов для более общих эллиптических уравнений.
Глава 4. Параболические уравнения.
§38. Первая краевая задача. Теорема о максимуме и минимуме.
§39. Решение первой краевой задачи для прямоугольника методом Фурье.
§40. Задача Коши.
§41. Обзор некоторых дальнейших исследований уравнений параболического типа.
Дополнение.
§42. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом сеток.
§43. Замечания о методе сеток.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Петровский :: задачи Коши