Пространства множеств и мультимножеств, Петровский А.Б., 2003

Пространства множеств и мультимножеств, Петровский А.Б., 2003.

   Рассматриваются пространства множеств и мультимножеств с мерой. Установлены основные свойства мер множеств и мультимножеств. Определены понятия последовательностей множеств и мультимножеств, новые виды их сходимости. Изучены свойства сходящихся последовательностей. Описываются новые типы пространств измеримых множеств и измеримых мультимножеств и новые виды метрик. Исследованы особенности разных видов расстояний между множествами и между мультимножествами. Рассмотрены метрические и топологические свойства пространств. Предложены методы решения задач классификации и упорядочения объектов, которые могут существовать в нескольких «копиях» с отличающимися значениями количественных и качественных признаков, характеризующих их свойства.
Для специалистов в областях дискретной математики, принятия решений, искусственного интеллекта, распознавания образов, языков программирования, аспирантов, студентов, всех тех, кто сталкивается в своей деятельности с необходимостью анализа и обработки разнообразной (числовой и символьной, разнородной и противоречивой) информации.




Способы представления многопризнаковых объектов.
Выбор той или иной модели для представления рассматриваемых объектов и исследования структуры их связей определяется свойствами этих объектов, которые выражаются признаками (атрибутами) объектов. Признаки, характеризующие свойства объектов, могут быть непрерывными и дискретными, количественными и качественными, либо смешанными.

Обычно совокупность объектов представляется множеством точек в некотором многомерном (как правило, метрическом) пространстве, оси которого соотносятся с соответствующими признаками. В прикладных задачах в качестве такого пространства достаточно часто (но, заметим, не всегда обоснованно) выбирается пространство типа евклидового Еn с метриками dеn при различных значениях n, выраженными формулами (1.04)-(1.06). Задание расстояния между объектами позволяет оценивать близость или удаленность этих объектов относительно друг друга вне зависимости от их природы, исследовать структурные особенности совокупности объектов и всего пространства в целом.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Глава 0. Основные понятия теории мультимножеств.
0.1. Понятие мультимножества.
0.2. Операции над мультимножествами.
0.3. Свойства операций над мультимножествами.
0.4. Вычисление мощностей и размерностей мультимножеств.
0.5. Способы представления мультимножеств.
Глава 1. Метрические пространства и последовательности.
1.1. Метрика и метрическое пространство.
1.2. Расстояния между точками и множествами.
1.3. Способы образования метрических пространств.
1.4. Сходимость и предел последовательности элементов множества.
1.5. Свойства сходящихся последовательностей.
1.6. Монотонные и кратные последовательности.
1.7. Гомеоморфизм и изометрия пространств.
1.8. Другие виды расстояний и пространств.
1.9. Метрические преобразования пространств.
Глава 2. Свойства метрических пространств.
2.1. Открытость и замкнутость.
2.2. Замыкание, связность.
2.3. Плотность, сепарабельность.
2.4. Полнота и пополнение.
2.5. Компактность.
2.6. Топологические пространства.
Глава 3. Непрерывные функции, последовательности функций, множеств и мультимножеств.
3.1. Предел и непрерывность функции.
3.2. Свойства непрерывных функций.
3.3. Полунепрерывные и односторонне непрерывные функции.
3.4. Предел и непрерывность функции многих переменных.
3.5. Сходимость и предел последовательности функций.
3.6. Сходимость и предел последовательности множеств.
3.7. Сходимость и предел последовательности мультимножеств.
Глава 4. Пространства с мерой множества.
4.1. Мера множества.
4.2. Свойства меры множества.
4.3. Измеримые множества.
4.4. Последовательности измеримых множеств.
4.5. Измеримые функции.
Глава 5. Пространства с мерой мультимножества.
5.1. Мера мультимножества.
5.2. Свойства меры мультимножества.
5.3. Измеримые мультимножества.
5.4. Последовательности измеримых мультимножеств.
Глава 6. Функциональные пространства.
6.1. Векторные пространства.
6.2. Пространства ограниченных числовых последовательностей.
6.3. Пространства сходящихся числовых последовательностей.
6.4. Пространства непрерывных и ограниченных функций.
6.5. Пространства ограниченных измеримых функций.
6.6. Пространства измеримых функций.
6.7. Метрические пространства и алгебры множеств.
Глава 7. Пространства измеримых множеств.
7.1. Метрики, порожденные мерой множества.
7.2. Степенное преобразование расстояний между множествами.
7.3. Особенности расстояний, порожденных мерой множества.
7.4. Геометрические свойства расстояний между измеримыми множествами.
7.4. Непрерывность метрик, порожденных мерой множества.
7.6. Сходимость на пространстве измеримых множеств.
7.7. Свойства метрических пространств измеримых множеств.
7.8. Аксиоматический подход к метризации пространств измеримых множеств.
Глава 8. Пространства измеримых мультимножеств.
8.1. Метрики, порожденные мерой мультимножества.
8.2. Степенное преобразование расстояний между мультимножествами.
8.3. Особенности расстояний, порожденных мерой мультимножества.
8.4. Геометрические свойства расстояний между измеримыми мультимножествами.
8.5. Непрерывность метрик, порожденных мерой мультимножества.
8.6. Сходимость на пространстве измеримых мультимножеств.
8.7. Свойства метрических пространств измеримых мультимножеств.
8.8. Аксиоматический подход к метризации пространств измеримых мультимножеств.
Глава 9. Примеры практических применений.
9.1. Способы представления многопризнаковых объектов.
9.2. Кластерный анализ объектов.
9.3. Классификация объектов.
9.4. Упорядочение объектов.
Литература.
Основные обозначения.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Петровский