Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Петровский И.Г., 2009

Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Петровский И.Г., 2009.

   Книга представляет собой учебник по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений. Тщательно продуманное изложение дало возможность в небольшом объеме вместить обширный материал. Более детально и строго, чем в других руководствах, рассмотрены уравнения простых типов. Подробно изложены общие теоремы о разрешимости уравнений и систем уравнений с непрерывными правыми частями. Теория линейных уравнений сопровождается оригинальным изложением канонической формы систем. Книга включает в себя дополнение, содержащее теорию линейных и нелинейных уравнений с частными производными 1-го порядка. Большое количество задач значительно расширяет содержание книги.




Зависимость решения от начальных данных.
До сих пор мы исследовали решение дифференциального уравнения, когда фиксируется некоторая точка (х0, у0), через которую должно проходить это решение. Если изменять х0 и у0, то будет меняться и решение. Здесь возникает важный в приложениях вопрос, как будет при этом меняться решение. Этот вопрос имеет и большое принципиальное значение, как на это указал Адамар. Действительно, если какая-нибудь физическая задача приводит к нахождению удовлетворяющего некоторым начальным условиям решения дифференциального уравнения, то эти начальные условия обычно находятся измерением из опыта. Но за абсолютную точность измерения ручаться нельзя. И найденное из условия, чтобы оно обращалось в y0 при х = х0, решение дифференциального уравнения представляло бы очень мало интереса для приложений, если бы даже незначительные погрешности в измерении уо могли привести к сильному изменению решения дифференциального уравнения. Мы покажем, что при некоторых предположениях решение дифференциального уравнения зависит непрерывным образом от начальных данных.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие к первому изданию.
Предисловие к третьему изданию.
Часть I. Одно дифференциальное уравнение 1-го порядка с одной неизвестной функцией.
Глава I. Общие понятия.
§1. Определения, примеры.
§2. Геометрическая интерпретация. Обобщение задачи.
Глава II. Простейшие дифференциальные уравнения.
§3. Уравнения вида dy/dx = f(x).
§4. Уравнения вида dy/dx = f(y).
§5. Уравнения с разделяющимися переменными.
§6. Однородные уравнения.
§7. Линейные уравнения.
§8. Уравнения в полных дифференциалах.
§9. Интегрирующий множитель.
Глава III. Общая теория.
§10. Ломаные Эйлера.
§11. Теорема Арцеля.
§12. Доказательство существования решения дифференциального уравнения (1) методом Пеано.
§13. Теорема Осгуда о единственности.
§14. Дополнение о ломаных Эйлера.
§15. Метод последовательных приближений.
§16. Принцип сжатых отображений.
§17. Геометрическая интерпретация принципа сжатых отображений.
§18. Теорема Коши о дифференциальном уравнении dy/dx = f(x, y) с голоморфной правой частью.
§19. О степени гладкости решений дифференциальных уравнений.
§20. Зависимость решения от начальных данных.
§21. Лемма Адамара.
§22. Теорема о зависимости решения от параметров.
§23. Особые точки.
§24. Особые линии.
§25. О поведении интегральных кривых в целом.
§26. Уравнения, неразрешенные относительно производной.
§27. Огибающие.
Часть II. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Глава IV. Общая теория.
§28. Сведение любой системы к системе уравнений 1-го порядка.
§29. Геометрическая интерпретация. Определения.
§30. Формулировка основных теорем.
§31. Принцип сжатых отображений для систем операторных уравнений.
§32. Приложение принципа сжатых отображений к системе дифференциальных уравнений.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Петровский