Эксперименты в теории чисел, Зюзьков В.М., 2019

Эксперименты в теории чисел, Зюзьков В.М., 2019.

   Экспериментальная математика - это тот раздел математики, который имеет дело, прежде всего, с кодированием и передачей идей в математическом сообществе с помощью экспериментальных исследований гипотез и менее формальных воззрений, а также с помощью анализа полученных данных. Как правило, математики не публикуют гипотезы. В этой книге, наоборот, читатель найдет много недоказанных утверждений, об истинности которых можно только предполагать. Но в этом и заключается цель книги - показать, как с помощью системы компьютерной алгебры Mathematica можно приходить к открытиям. Демонстрируется «кухня» компьютерных экспериментов. Предметной областью является элементарная теория чисел, так как эксперименты и исследования играют ключевую роль в изучении теории чисел. Автор стремился к «замкнутому» изложению материала.
Книга рассчитана на математиков, использующих системы компьютерной алгебры как инструмент в своих исследованиях. Также она будет полезна студентам и аспирантам математических направлений университетов, изучающих курс компьютерной алгебры.




Периодические десятичные дроби.
Рациональное число есть число вида r/s, где r и s - целые. Все рациональные числа в десятичной системе счисления представляются периодической десятичной дробью (в частном случае период состоит из цифры 0). И наоборот, любая периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Мы рассмотрим связь между десятичными периодическими дробями и примитивными корнями.

Теорема 8. Каждое рациональное число имеет десятичное представление, которое состоит из какой-то начальной части (предпериода) и следуемой за ней периодической части.

Доказательство. Приведем только «эскиз» доказательства. Сделать этот «эскиз» полным доказательством будет хорошим упражнением. Если r/s - рациональное число, то представим, что мы выполняем деление в столбик, как это мы делали в школе. На каждом шаге у нас был остаток, меньший s. Поэтому после конечного числа шагов остаток должен повторяться. Это означает, что цифры десятичного представления отношения начнут повторяться с некоторой позиции.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
ПРЕДИСЛОВИЕ.
ВВЕДЕНИЕ.
§1. Экспериментальная математика.
§2. Mathematica.
Основные возможности и состав Mathematica.
Способы выполнения приложений, написанных в системе Mathematica.
Глава 1. Основы языка Wolfram.
§1. Принципы языка.
Понимание математической нотации.
§2. Представление и упрощение данных в языке Wolfram.
Представление данных.
Автоматическое упрощение.
Упрощение алгебраических выражений.
§3. Процедурное программирование.
§4. Функциональное программирование.
§5. Программирование с правилами преобразований.
§6. Параллельные вычисления и функциональное программирование.
Евклидовы числа.
Глава 2. Вхождение в тему.
§1. Примитивные пифагоровы тройки.
§2. Аликвотные дроби.
§3. Гипотеза Коллатца.
§4. Метазадача.
§5. «Самоописательная последовательность» Голомба.
§6. Три последовательности от Рональда Грэхэма.
§7. Функция Аккермана.
§8. Числа Улама.
§9. Алгоритм Евклида.
Линейные диофантовые уравнения.
Глава 3. Сравнения. Кольца классов вычетов.
§1. Определения и основные свойства.
§2. Возведение в степень.
§3. Нахождение обратного элемента по модулю.
§4. Решение сравнений.
Решение линейных сравнений.
Китайская теорема об остатках.
Сравнение любой степени.
§5. Функция Эйлера ф.
Прообраз функции EulerPhi.
Теорема Эйлера.
Итерация функции Эйлера.
Задачи с функцией Эйлера.
§6. Квадратичные вычеты.
Квадратичные вычеты и невычеты.
Когда р-1 является квадратичным вычетом по модулю р?.
Критерий Гаусса.
Закон квадратичной взаимности.
Символ Якоби.
Извлечение квадратного корня по модулю.
§7. Криптография с открытым ключом.
Глава 4. Мультипликативные функции.
§1. Первые понятия.
§2. Число и сумма делителей.
§3. Совершенные числа и числа Мерсенна.
§4. Функция Мёбиуса.
Задачи с функцией Мёбиуса.
§5. Свёртка Дирихле.
Глава 5. Числа Фибоначчи.
§1. Определения и некоторые свойства.
Многочлен для чисел Фибоначчи.
Подстановка Фибоначчи.
§2. Фибоначчиевая система счисления.
§3. Последовательность Fibonacci(n) mod n.
Когда в последовательности Fn mod n встречаются нули?.
Подпоследовательность Fp mod p, p - простое.
Подпоследовательности Fqxp mod qxp, p - простое.
Предположения без доказательств.
Глава 6. Примитивные корни.
§1. Порядок числа по модулю.
§2. Примитивные корни - образующие в U(w).
§3. Периодические десятичные дроби.
Глава 7. Производящие функции.
§1. Формальные степенные ряды.
§2. Производящие функции в математике и в языке Wolfram.
§3. Преобразования Дирихле.
Глава 8. Вокруг теоремы Эйлера о суммах делителей.
§1. Последовательности Эйлера.
Разбиения.
Последовательность с производящей функцией QPochhammer[x, х].
Последовательность 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51.
§2. Теоремы Эйлера.
Гипотеза Эйлера о законе чисел, относящемся к суммам их делителей.
Рекуррентная формула о числе разбиений.
Глава 9. Распознавание простых и составных чисел.
§1. Псевдопростые числа Ферма.
§2. Числа Кармайкла.
§3. Сильно вероятные простые числа.
§4. Вероятные тесты на простоту, связанные с числами Фибоначчи.
Глава 10. Сильно составные числа.
§1. Вычисление сильно составных чисел.
§2. Итерация функции, определяющей число делителей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.
ПРЕДМЕТНЫЙ И ПЕРСОНАЛЬНЫЙ УКАЗАТЕЛИ.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Эксперименты в теории чисел, Зюзьков В.М., 2019 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Зюзьков :: теорема Эйлера :: теория чисел