Парадокс Банаха-Тарского, Губа В.С., Львовский С.М., 2012.
В 1924 году выдающиеся польские математики Стефан Банах и Альфред Тарский доказали, что шар в пространстве можно разрезать на конечное число частей, из которых можно сложить шар другого объема. В брошюре мы расскажем, почему эта теорема, производящая впечатление нелепости, не противоречит возможности измерять объемы тел, и познакомим читателя с красивой математикой, стоящей за этим уже классическим результатом.
Для школьников старших классов и студентов младших курсов.
Обсуждение.
Итак, теорема Банаха—Тарского наконец доказана; в частности, доказано, что равносоставлены любые два многогранника, независимо от их объемов. Давайте попробуем разобраться, почему ее формулировка столь шокирует и в чем конкретно выражается то обстоятельство, что этот результат противоречит интуиции.
Самый первый источник недоумения: «Как же так можно, что ж, выходит, из одной картофелины может сделать две?». На это есть простой ответ: картофелины — не математический объект, и ни одна математическая теорема ничего о картошке (равно как и о других реальных предметах) не говорит. Подмножества в R3 являются, конечно, «моделями» предметов, встречающихся в реальном мире, но сходство модели с оригиналом простирается не до бесконечности. Для демонстрации этой особенности взаимоотношений математики и реальности вообще незачем привлекать результаты Банаха и Тарского: всякий школьник понимает, что куб с ребром 1 сантиметр можно разрезать на любое количество частей сколь угодно малого размера, в том числе меньших по размерам, чем атомы; физически это ничуть не менее нелепо, чем изготовление двух картофелин из одной. Кроме того, и не вдаваясь в раздумья о том, до какой степени простирается сходство между картофелиной и ограниченным подмножеством пространства, можно отметить, что картошку мы обычно разрезаем на такие куски, где точки одного множества «соединены» друг с другом, а в наших множествах точки «разрозненные».
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
1. Равносоставленность в наивном и точном смысле.
Приложение: уточненная теорема Бойяи–Гервина.
2. Удвоение абстрактного яблока.
3. Основная конструкция.
Приложение: об уравнениях на угол ϕ.
4. Обсуждение.
5. В пространстве можно, на плоскости нельзя.
Купить .
Дата публикации:
Теги: учебник по математике :: математика :: Губа :: Львовский
Смотрите также учебники, книги и учебные материалы:
Следующие учебники и книги:
Предыдущие статьи:
