Семейства прямых и гауссовы отображения, Львовский С.М., 2013

Семейства прямых и гауссовы отображения, Львовский С.М., 2013.
     
   Всякое одномерное семейство прямых на плоскости (кроме вырожденных случаев) является семейством касательных к некоторой кривой. В пространстве, однако, это уже совершенно не так; в брошюре объясняется, как, глядя на одномерное семейство прямых в пространстве, определить, является ли оно «касательным». По ходу дела читатель знакомится с такими важными понятиями современной математики, как внешняя алгебра и грассмановы многообразия.
Брошюра написана по материалам цикла лекций на Летней школе «Современная математика» в Дубне в 2003 г. Она доступна студентам младших курсов и школьникам старших классов.




Проективные пространства.
При работе с семействами прямых (а также во многих других случаях) бывает удобно дополнить обычное пространство R3 до проективного пространства. Цель данного параграфа — кому-то напомнить, а кому-то вкратце рассказать про проективные пространства. Читателю, с этой темой знакомому, можно перейти сразу к изучению следующего параграфа, а к этому параграфу возвращаться только при необходимости.

Две «случайно взятые» прямые на плоскости (две прямые в общем положении) пересекаются, но возможен и исключительный случай, когда прямые параллельны. В проективной геометрии таких исключительных случаев не бывает: две различные прямые всегда пересекаются в одной точке. Так получается, потому что к каждой прямой добавляют «бесконечно удаленную точку» (у всех параллельных друг дружке прямых бесконечно удаленная точка одна и та же), и в результате всякие две параллельные прямые также пересекаются в одной точке — бесконечно удаленной точке, соответствующей данному направлению.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
§1. О чем эта книжка.
§2. Проективные пространства.
§3. Кривые и касательные в Rn и RPn.
§4. Игра с умножением, или внешняя алгебра.
§5. Плюккеровы координаты.
§6. Соотношения Плюккера.
§7. Геометрия квадрики Плюккера.
§8. Возвращение к семействам прямых.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Львовский :: квадрики Плюккера