Повесть о двух фракталах, Кириллов А.А., 2010

Повесть о двух фракталах, Кириллов А.А., 2010.
     
   Эта брошюра, написанная по материалам лекций, прочитанных автором для школьников и студентов на летней школе «Современная математика», представляет собой введение в теорию фракталов — новый, актуальный раздел математики. Начинаясь с основных определений, книга доходит до свежих результатов и нерешенных проблем.
Для студентов младших курсов и школьников старших классов.




Возникновение и наивное определение.
Я не буду описывать первоначальные появления фракталов в естественных науках (такие как исследования длины береговой линии или границ немецких княжеств XVII века, строения цветной капусты или формы снежинок и т. д.); по этому поводу есть достаточно примеров в популярных изложениях теории фракталов (см., например, [Man] или очень забавную недавнюю книжку [LGRE]).

Для математиков простейшим и наиболее известным примером фрактала является знаменитое канторово множество. Из него трудно сделать красивую картинку, но зато знакомство с канторовым множеством — очень хороший тест, чтобы отличить тех, кто действительно понимает анализ, от тех, кто формально сдал экзамен. Мы не будем вдаваться в детали здесь, но в разделе 1.2 мы вернемся к этому примеру и покажем, что он является частью общей теории самоподобных фракталов.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Введение.
Часть I. КОВЕР СЕРПИНСКОГО.
Глава 1. Определение и основные свойства.
1.1. Возникновение и наивное определение.
Схолия А. Метрические пространства.
А.1. Определение метрического пространства (14). А.2. Сжимающие отображения (16). А.3. Компактные пространства (17).
1.2. Самоподобные фракталы.
Схолия В. Хаусдорфова мера и хаусдорфова размерность.
Глава 2. Оператор Лапласа на ковре Серпинского.
Схолия С. Оператор Лапласа и гармонические функции.
С.1. Анализ на римановом многообразии (30). С.2. Оператор как отношение двух квадратичных форм (33). С.З. Оператор Лапласа на римановом многообразии (34).
2.1. Оператор Лапласа на Уn.
2.2. Сравнение спектров Δn и Δn-1.
2.3. Спектр оператора Лапласа на Уn.
Глава 3. Гармонические функции на ковре Серпинского.
3.1. Основные свойства гармонических функций.
3.2. Базисные функции χ, ϕ, ψ, ξ.
3.3. Продолжение и вычисление функций χ(t) и ψ(t).
Схолия D. Производные и интегралы дробного порядка.
3.4. Некоторые арифметические свойства основных функций.
3.5. Функции x(f), y(t) и у(х).
3.6. Гармонический образ ковра У.
3.7. Многомерные аналоги ковра У.
Схолия Е. Числовые системы.
E.1. Стандартные системы (63). Е.2. Нестандартные системы (65). Е.3. Непрерывные дроби (66). Е.4. Обобщенные числовые системы (68).
3.8. Применения обобщенных числовых систем.
Часть II. КОВЕР АПОЛЛОНИЯ.
Глава 4. Круги на сферах.
4.1. Теорема Декарта.
Схолия F. Конформная группа и стереографическая проекция.
F.1. Стереографическая проекция (83). F.2. Конформная группа (85). F.3. Малые размерности (88).
Глава 5. Строгое определение ковра Аполлония.
5.1. Основные факты.
Схолия G. Числа Фибоначчи.
5.2. Ковры с неограниченными размерами кругов.
5.3. Три интерпретации множества D.
5.4. Обобщенная теорема Декарта.
Глава 6. Арифметические свойства ковров Аполлония.
6.1. Целочисленные решения уравнения Декарта.
Схолия Н. Структура некоторых групп, порожденных отражениями.
6.2. Структура множества Q.
6.3. Рациональная параметризация окружности.
6.4. Совершенные параметризации кругов, касающихся данного круга.
6.5. Целочисленные ковры Аполлония.
Схолия I. Формула обращения Мёбиуса.
Глава 7. Геометрический и теоретико-групповой подходы.
Схолия J. Плоскость Лобачевского (гиперболическая плоскость).
J.1. Первая модель Пуанкаре (145). J.2. Вторая модель Пуанкаре (148). J.3. Модель Клейна (149).
7.1. Действие группы G и ковры Аполлония.
7.2. Действие группы Г на ковре Аполлония.
Глава 8. Многомерные ковры Аполлония.
8.1. Общие соображения.
8.2. Трехмерный ковер Аполлония.
Литература.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Кириллов :: теорема Декарта :: теория фракталов