Недавнее появление астроид и гипоциклоид в качестве ответов и моделей в целом ряде различных задач теории особенностей, теории каустик и волновых фронтов, теорий эволют и эвольвент, сделало ясным фундаментальное значение этих объектов и привело к открытию большого числа новых фактов, относящихся то к геометрии и анализу, то к физике и теории распространения волн, то к симилектической и контактной топологии, то к вариационному исчислению и оптимальному управлению.
Обнаружение связи между гессиановой топологией и астроидальной геометрией явилось полной неожиданностью и немедленно привело к быстрому прогрессу в обеих областях, который и описан в настоящей книге.
По материалам этой книги автором был прочитан миникурс участникам Летней школы «Современная математика» (школьникам старших классов и студентам I—II курсов) в Дубне 17—26 июля 2001 года.
Книга представляет интерес для широкого круга подготовленных читателей, интересующихся математикой.
Несколько слов о теореме Штурма—Гурвица.
Эта теорема утверждает, что сумма вещественного ряда Фурье имеет не меньше нулей, чем младшая гармоника, входящая в ряд с ненулевым коэффициентом. Если эта гармоника первая, т. е. если функция ортогональна единице т. е. имеет нулевой интеграл, это утверждение есть неравенство Морса. Действительно, такая функция является производной гладкой функции, заданной на окружности, значит она имеет не меньше двух нулей, поскольку заданная на окружности функция имеет не менее двух критических точек.
Поэтому теорема Штурма—Гурвица является обобщением неравенства Морса на высшие производные. Например, если заменить первую производную суммой первой и третьей, то у такой комбинации в ряде Фурье не будет ни нулевых, ни первых гармоник, поэтому число нулей не меньше четырех. Известно много доказательств теоремы Штурма— Гурвица, но все они мало проясняют суть дела. Сам Штурм рассматривал только тригонометрические многочлены, т. е. вещественные части обычных многочленов на окружности. В этом случае теорема следует из принципа аргумента теории функций комплексного переменного, так как отсутствие младших гармоник означает присутствие корня большой кратности в нуле, т. е. внутри круга, ограниченного рассматриваемой окружностью. Значит, аргумент имеет большое приращение, а вещественная часть — много нулей.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
I. Каустики и гиперболичность.
1. Каустики периодических функций.
2. Гиперболические периодические функции.
II. Гиперболические однородные функции.
3. Однородные функции степени D и связь их гиперболичности с теорией Морса.
4. Доказательства теорем об однородных функциях.
5. Примеры D-гиперболических функций.
III. Гиперболические однородные многочлены.
6. Примеры D-гиперболических многочленов степени D > 1.
7. Нормализованное фазовое пространство D-гиперболической функции степени D > 1.
8. Техника конструирования D-гиперболических функций, уравнение Гессе и экстремальное вращение его фазового вектора.
IV. Астроида.
9. Многочлены четвертой степени и их астроидальная каустика.
10. Фронты астроиды, теория гипоциклоид и области 4-гиперболичности.
V. Гиперкаустики и гиперфронты.
11. Гиперкаустики периодических функций.
12. Гиперфронты периодических функций и подсчет числа параболических кривых на алгебраических поверхностях.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Астроидальная геометрия гипоциклоид и гессианова топология гиперболических многочленов, Арнольд В.И., 2001 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу, если она есть в продаже, и похожие книги по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить книги
Скачать - pdf - Яндекс.Диск.
Дата публикации:
Теги: учебник по геометрии :: геометрия :: Арнольд :: топология :: астроид :: гипоциклоид
Смотрите также учебники, книги и учебные материалы:
Следующие учебники и книги:
Предыдущие статьи:
