Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства, Хелгасон С., 2005

Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства, Хелгасон С., 2005.
 
   Предлагаемая читателю книга американского математика С. Хелгасона содержит детальное изложение классической теории римановых симметрических пространств. Разработанная в основных чертах в работах Э. Картана 1925-1935 годов и дополненная его многочисленными последователями, эта теория прочно вошла в золотой фонд математики и получила многочисленные приложения почти во всех ее областях.
Для книги характерна систематичность и полнота изложения материала.
Книга рассчитана на студентов старших курсов механико-математических отделений университетов, аспирантов и преподавателей.




ГРУППЫ ЛИ И АЛГЕБРЫ ЛИ.
Группа Ли есть, грубо говоря, аналитическое многообразие со структурой группы, причем групповые операции аналитичны. Группы Ли возникают естественным путем как группы преобразований геометрических объектов. Например, известно, что группа всех аффинных преобразований связного многообразия с аффинной связностью и группа всех изометрий псевдори-манова многообразия являются группами Ли в компактно открытой топологии. Однако группа всех диффеоморфизмов многообразия чересчур велика для того, чтобы образовывать группу Ли в какой-либо разумной топологии.

Касательное пространство g группы Ли G в единичном элементе обладает законом композиции (X, Y) - [X, Y], который получается из операции коммутирования левоинвариантных векторных полей на G. Векторное пространство g с этим законом композиции называется алгеброй Ли группы G. Структуры алгебры g и группы G связаны при помощи экспоненциального отображения exp: g - G, которое переводит прямые, проходящие через начало координат в д, в однопараметрические подгруппы группы G. Многие свойства этого отображения излагаются уже в § 1, потому что их можно получить как частные случаи свойств экспоненциального отображения для подходящей аффинной связности на группе G. Хотя структура алгебры g определяется произвольной окрестностью единицы в G, экспоненциальное отображение дает далеко идущую связь между алгеброй g и группой G в целом. Например, мы увидим в главе VII, что центр компактной односвязной группы Ли G можно явно определить при помощи алгебры Ли д. В § 2 рассматривается соответствие (индуцированное отображение ехр) между подалгебрами и подгруппами. Это соответствие является чрезвычайно важным для теории, несмотря на то его слабое место, что по подалгебре нельзя, вообще говоря, решить, является соответствующая подгруппа замкнутой или нет. Последнее различие существенно при рассмотрении факторпространств.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие редактора перевода.
Предисловие.
Предисловие к русскому переводу.
Указания читателю.
Глава I. Элементарная дифференциальная геометрия.
§1. Многообразия.
§2. Тензорные поля.
1. Векторные поля и 1-формы.
2. Тензорная алгебра.
3. Алгебра Грассмана.
4. Внешний дифференциал.
§3. Отображения.
1. Интерпретация матрицы Якоби.
2. Преобразование векторных полей.
3. Действие на дифференциальные формы.
§4. Аффинные связности.
§5. Параллелизм.
§6. Экспоненциальное отображение.
§7. Ковариантное дифференцирование.
§8. Структурные уравнения.
§9. Риманова связность.
§10. Полные римановы многообразия.
§11. Изометрии.
§12. Секционная кривизна.
§13. Римановы многообразия отрицательной кривизны.
§14. Вполне геодезические подмногообразия.
§15. Добавления.
1. Топология.
2. Отображения постоянного ранга.
Упражнения и дальнейшие результаты.
Замечания.
Глава II. Группы Ли и алгебры Ли.
§1. Экспоненциальное отображение.
1. Алгебра Ли группы Ли.
2. Универсальная обертывающая алгебра.
3. Левоинвариантные аффинные связности.
4. Формула Тэйлора и дифференциал экспоненциального отображения.
§2. Подгруппы Ли и подалгебры.
§3. Группы Ли преобразований.
§4. Пространства смежных классов и однородные пространства.
§5. Присоединенная группа.
§6. Полупростые группы Ли.
§7. Инвариантные дифференциальные формы.
§8. Перспективы.
Упражнения и дальнейшие результаты.
Замечания.
Глава III. Структура полупростых алгебр ли.
§1. Предварительные сведения.
§2. Теоремы Ли и Энгеля.
§3. Подалгебры Картана.
§4. Разложение на корневые пространства.
§5. Значение системы корней.
§6. Вещественные формы.
§7. Разложения Картана.
§8. Примеры. Комплексные классические алгебры Ли.
Упражнения и дальнейшие результаты.
Замечания.
Глава IV. Симметрические пространства.
§1. Аффинные локально симметрические пространства.
§2. Группы изометрий.
§3. Римановы глобально симметрические пространства.
§4. Экспоненциальное отображение и кривизна.
§5. Локально и глобально симметрические пространства.
§6. Компактные группы Ли.
§7. Вполне геодезические подмногообразия. Тройные системы Ли.
Упражнения и дальнейшие результаты.
Замечания.
Глава V. Разложение симметрических пространств.
§1. Ортогональные симметрические алгебры Ли.
§2. Двойственность.
§3. Секционная кривизна симметрических пространств.
§4. Симметрические пространства с полупростыми группами изометрий.
§5. Обозначения.
§6. Ранг симметрического пространства.
Упражнения и дальнейшие результаты.
Замечания.
Глава VI. Симметрические пространства некомпактного типа.
§1. Разложение полупростой группы Ли.
§2. Максимальные компактные подгруппы и их сопряженность.
§3. Разложение Ивасавы.
§4. Нильпотентные группы Ли.
§5. Глобальные разложения.
§6. Комплексный случай.
Упражнения и дальнейшие результаты.
Замечания.
Глава VII. Симметрические пространства компактного типа.
§1. Контраст между компактным и некомпактным типами.
§2. Группа Вейля и ограниченные корни.
§3. Сопряженные точки. Сингулярные точки. Диаграмма.
§4. Приложения к компактным группам.
§5. Контроль над сингулярным множеством.
§6. Фундаментальная группа и центр.
§7. Аффинная группа Вейля.
§8. Приложение к симметрическому пространству U/K.
§9. Классификация локально изометричных пространств.
§10. Геометрия пространства U/K. Симметрические пространства ранга 1.
§11. Кратчайшие геодезические и минимальные вполне геодезические сферы.
§12. Добавление. Результаты из теории размерности.
Упражнения и дальнейшие результаты.
Замечания.
Глава VIII. Эрмитовы симметрические пространства.
§1. Почти комплексные многообразия.
§2. Комплексные тензорные поля. Кривизна Риччи.
§3. Ограниченные области. Кернфункция.
§4. Эрмитовы симметрические пространства компактного и некомпактного типа.
§5. Неприводимые ортогональные симметрические алгебры Ли.
§6. Неприводимые эрмитовы симметрические пространства.
§7. Ограниченные симметрические области.
Упражнения и дальнейшие результаты.
Замечания.
Глава IX. Структура полупростых групп ли.
§1. Разложения Картана, Ивасавы и Брюа.
§2. Редукция к случаю ранга 1 390.
§3. Редукция к случаю SU (2,1) 392.
§4. Подалгебры Картана.
§5. Автоморфизмы.
§6. Кратности.
§7. Разложения Жордана.
Упражнения и дальнейшие результаты.
Замечания.
Глава X. Классификация простых алгебр ли и симметрических пространств.
§1. Редукция задачи.
§2. Классические группы и их инволюции Картана.
1. Некоторые группы матриц и их алгебры Ли.
2. Свойства связности.
3. Инволютивные автоморфизмы классических компактных алгебр Ли.
§3. Системы корней.
1. Общие сведения.
2. Приведенные системы корней.
3. Классификация приведенных систем корней. Графы Кокстера и схемы Дынкина.
4. Неприведенные системы корней.
5. Старший корень.
6. Внешние автоморфизмы и индекс накрытия.
§4. Классификация простых алгебр Ли над С.
§5. Автоморфизмы конечного порядка полупростых алгебр Ли.
§6. Классификация.
1. Простые алгебры Ли над С и их компактные вещественные формы. Неприводимые римановы глобально симметрические пространства типа II и типа IV.
2. Вещественные формы простых алгебр Ли над С. Неприводимые римановы глобально симметрические пространства типа I и типа III.
3. Неприводимые эрмитовы симметрические пространства.
4. Совпадения между различными классами. Специальные изоморфизмы.
Упражнения и дальнейшие результаты.
Замечания.
Решения упражнений.
Некоторые подробности.
Литература.
Список принятых обозначений.
Часто употребляемые символы.
Предметный указатель.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства, Хелгасон С., 2005 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по геометрии :: геометрия :: Хелгасон