Курс геометрии, Элементы топологии, дифференциальная геометрия, основания геометрии, Кузовлев В.П., Подаева Н.Г., 2012

Курс геометрии, Элементы топологии, дифференциальная геометрия, основания геометрии, Кузовлев В.П., Подаева Н.Г., 2012.

   Предлагаемое пособие примыкает по тематике к ряду известных учебников и рассчитано на российскую систему профессионального образования, на студентов математических специальностей педагогических вузов и университетов не ранее чем с третьего семестра обучения. Оно также может быть полезно аспирантам и преподавателям математики в средней школе и университете. При подготовке пособия основной целью было предложить изучающим геометрию студентам, аспирантам, преподавателям книгу, доступную для чтения, в которой они могли бы найти содержательные сведения об основных математических структурах, раскрывающие наиболее значимые аспекты последних с исторической точки зрения.




История развития топологии.
Топология, являющаяся одной из самых абстрактных ветвей не только геометрии, но и всей современной математики, оформила свои воззрения как самостоятельная математическая дисциплина на пороге XX века.

Известно, что вопросы изображения пространственных фигур и перспективы привели Ж. В. Понселе еще в первой четверти XIX века к выделению в особый класс проективных свойств фигур. Проективные свойства оказались более общими и более прочными, чем метрические и аффинные свойства. При проективном преобразовании фигуры метрические и аффинные ее свойства могут «исчезнуть», в то время как более глубокие проективные ее свойства сохраняются.

Около середины XIX века в связи с развитием теории поверхностей и теории аналитических функций комплексного переменного началось систематическое изучение еще более глубоких и стойких, так называемых топологических свойств фигур, сохраняющихся при «более резких» преобразованиях (при любых деформациях, «уничтожающих» не только метрические и аффинные, но даже и проективные свойства фигур), производимых без разрывов и склеиваний. Иными словами, топологические свойства, изучением которых и занимается топология, — это те свойства, которые остаются инвариантными при любом топологическом преобразовании, под которым можно понимать любой изгиб, сжатие, расширение, искажение размеров и формы фигуры и всякое вообще преобразование, лишь бы сохранялись отношения прикосновения, бесконечной близости, т. е. взаимная непрерывность (отсутствие разрывов) и взаимная однозначность (отсутствие какой-либо спайки, склеивания). Такие преобразования называются также гомеоморфными или гомеоморфизмами (от греческих слов «гомойос» — подобный и «морфе» — вид, форма, строение).

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Часть 1. Элементы топологии.
§1.1. Топологические пространства.
§1.2. Окрестность точки, база топологии, замкнутые множества. Топологические подпространства.
§1.3. Непрерывные отображения топологических пространств
§1.4. Гомеоморфизмы топологических пространств. Предмет топологии. Изоморфизмы топологических структур.
§1.5. Покрытие и разбиение множеств. Отделимость, компактность, связность.
§1.6. Метрические пространства. Метризуемые топологические пространства.
§1.7. Топологические многообразия.
§1.8. Понятие о клеточном разложении компактных двумерных многообразий. Эйлерова характеристика многообразия.
§1.9. Ориентируемые и неориентируемые двумерные многообразия.
§1.10. Понятие об условиях гомеоморфизма компактных двумерных многообразий. Теорема Эйлера для многогранников.
§1.11. История развития топологии.
§1.12. Задания для самостоятельного решения к части 1.
Список литературы к части 1.
Часть 2. Линии и поверхности в евклидовом пространстве.
Раздел 2.1. Линии в евклидовом пространстве.
§2.1.1. Векторные функции одного скалярного аргумента и их дифференцирование.
§2.1.2. Понятие линии.
§2.1.3. Гладкие линии.
§2.1.4. Касательная. Длина дуги. Естественная параметризация.
§2.1.5. Кривизна и кручение линии. Формулы Френе.
§2.1.6. Свойства плоской линии.
§2.1.7. Вычисление кривизны и кручения линии в произвольной параметризации.
§2.1.8. Винтовая линия.
§2.1.9. Задания для самостоятельного решения к разделу 2.1.
Раздел 2.2. Поверхности в евклидовом пространстве.
§2.2.1. Векторная функция двух скалярных аргументов.
§2.2.2. Понятие поверхности.
§2.2.3. Гладкие поверхности.
§2.2.4. Кривые на гладкой поверхности. Криволинейные координаты.
§2.2.5. Замена параметризации. Якобиан. Явное уравнение поверхности.
§2.2.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
§2.2.7. Первая квадратичная форма поверхности.
§2.2.8. Вычисление угла между двумя гладкими линиями, лежащими на поверхности, и площади гладкой компактной поверхности.
§2.2.9. Вторая квадратичная форма поверхности.
§2.2.10. Нормальная кривизна линии на поверхности.
§2.2.11. Индикатриса Дюпена.
§2.2.12. Главные кривизны. Полная и средняя кривизны поверхности.
§2.2.13. История развития дифференциальной геометрии.
§2.2.14. Задания для самостоятельного решения к разделу 2.2.
Список литературы к части 2.
Часть 3. Основания геометрии.
Раздел 3.1. Общие вопросы аксиоматики.
§3.1.1. Понятие о математической структуре.
§3.1.2. Интерпретация системы аксиом. Непротиворечивость системы аксиом.
§3.1.3. Изоморфизм структур. Автоморфизм.
§3.1.4. Структурный подход к обоснованию евклидова пространства.
§3.1.5. Аксиоматический метод в развитии геометрии.
§3.1.6. Контрольные вопросы к разделу 3.1.
Раздел 3.2. Исторический обзор обоснования геометрии.
§3.2.1. «Начала» Евклида. Критика «Начал».
§3.2.2. Пятый постулат Евклида и его эквиваленты.
§3.2.3. Система аксиом Гильберта (обзор). Обоснование евклидовой геометрии по Гильберту.
§3.2.4. Лобачевский и его геометрия. Аксиома Лобачевского.
§3.2.5. Контрольные вопросы к разделу 3.2.
Раздел 3.3. Гиперболическая геометрия Лобачевского в схеме Вейля.
§3.3.1. Гиперболическое пространство Лобачевского.
§3.3.2. Модели плоскости Лобачевского.
§3.3.3. Свойства параллельных прямых на плоскости Лобачевского.
§3.3.4. Свойства расходящихся прямых на плоскости Лобачевского.
§3.3.5. Угол параллельности на плоскости Лобачевского.
§3.3.6. Ось симметрии, секущие равного наклона, пучки прямых на плоскости Л2.
§3.3.7. Окружность, эквидистанта и орицикл на плоскости Л2
§3.3.8. Понятие о взаимном расположении прямой и плоскости в пространстве Лобачевского Л3.
§3.3.9. Контрольные вопросы к разделу 3.3.
Список литературы к части 3.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Курс геометрии, Элементы топологии, дифференциальная геометрия, основания геометрии, Кузовлев В.П., Подаева Н.Г., 2012 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по геометрии :: геометрия :: Кузовлев :: Подаева