Группы отражений и правильные многогранники, Смирнов Е.Ю., 2018

Группы отражений и правильные многогранники, Смирнов Е.Ю., 2018.
     
   Брошюра написана по материалам цикла лекций, прочитанных автором участникам Летней школы «Современная математика» в Дубне 20—26 июля 2008 г. В ней излагается классификация правильных многогранников в евклидовом пространстве произвольной размерности. Попутно читатель знакомится с такими важными алгебраическими понятиями, как группы отражений и системы корней.
Материал, изложенный в брошюре, иллюстрирует связь геометрии, теории групп и комбинаторики.
Брошюра адресована студентам младших курсов.
Первое издание книги вышло 2009 году.




Доказательство теоремы о классификации: инструментарий.
Нетрудно видеть, что можно ограничиться рассмотрением связных графов Кокстера: если граф несвязен, то соответствующая группа отражений (если она существует) распадается в прямое произведение нескольких подгрупп отражений, каждая из которых соответствует связной компоненте графа Кокстера (соответственно, система корней распадается в несколько ортогональных подсистем). Поэтому достаточно описать все связные графы Кокстера. Группы отражений и их системы корней, соответствующие связным графам Кокстера, будем называть неразложимыми.

Общая стратегия нашего доказательства будет такова: мы выясним, каких подграфов не может быть в связном графе Кокстера. В итоге мы придем к тому, что все графы, не содержащие этих запрещенных подграфов, суть в точности графы из теоремы 3.4. После этого нам останется лишь предъявить примеры групп отражений, соответствующих этим графам.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Введение.
Лекция 1.
1.1. Правильные многогранники на плоскости и в пространстве.
1.2. Группы отражений: основные определения и первые примеры.
Лекция 2.
2.1. Системы корней. 
2.2. Простые и положительные корни.
2.3. Сопряженность систем простых и положительных корней.
2.4. Группа отражений порождается простыми отражениями.
2.5. Многогранные конусы и двойственность. 
2.6. Камеры Вейля и фундаментальная область группы отражений. 
Интермедия: группы отражений и кватернионы. 
21/2.1. Алгебра кватернионов.
21/2.2. Кватернионы единичного модуля и чисто мнимые кватернионы.
21/2.3. Действие Sp(1) на V. 
21/2.4. Конечные подгруппы в H суть системы корней.
21/2.5. Бинарные группы платоновых тел.
Лекция 3.
3.1. Графы Кокстера: определение.
3.2. Классификация конечных групп отражений: формулировка результата. 
3.3. Доказательство теоремы о классификации: инструментарий.
3.4. Доказательство теоремы о классификации: необходимость.
3.5. Доказательство теоремы о классификации: достаточность.
Лекция 4.
4.1. Правильные многогранники и их группы симметрий.
4.2. Образующие группы симметрий правильного многогранника и соотношения между ними. 
4.3. Система корней группы симметрий правильного многогранника.
4.4. Построение правильного многогранника по его группе симметрий. 
4.5. Подсчет числа граней у правильных многогранников. 
Литература.

КупитьКупить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Смирнов :: многогранник :: кватернион