Диаграммы Юнга, плоские разбиения и знакочередующиеся матрицы, Смирнов Е.Ю., 2014

Диаграммы Юнга, плоские разбиения и знакочередующиеся матрицы, Смирнов Е.Ю., 2014.

   Сколько есть способов разбить натуральное число в сумму нескольких слагаемых, если суммы, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми? Оказывается, что на этот, казалось бы, элементарный вопрос нет простого ответа. Зато теория, начинающаяся с этого вопроса, оказывается очень интересной, а ее результаты находят применение в самых разных разделах математики и математической физики.
Настоящая брошюра написана по материалам лекций, прочитанных автором на летней школе «Современная математика» в Дубне в июле 2013 года. Она рассчитана на старшеклассников и студентов младших курсов.




Тождество Деснано—Якоби.
В этой лекции мы обсудим гипотезу о знакочередующихся матрицах — задачу, которая, несмотря на элементарную формулировку, оставалась нерешенной около 20 лет (с конца 1970-х гг. по 1995 гг.). «Нумерология», возникающая в этой задаче, оказывается связанной с теорией плоских разбиений, которой мы занимались в прошлой лекции, — однако эта связь остается не до конца понятной и по сей день. А начнем мы с того, что изложим некоторое утверждение из линейной алгебры, которое почему-то почти никогда не включают в стандартные курсы.

Пусть А — матрица порядка nхn, М — ее определитель. Обозначим через Мij ее минор порядка n — 1, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Пусть также М1n,1n — минор порядка n — 2, полученный вычеркиванием из матрицы первой и последней строки и первого и последнего столбца. Оказывается, имеет место следующее соотношение.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Введение.
Лекция 1. Разбиения.
1.1. Разбиения и диаграммы Юнга.
1.2. Напоминание о производящих функциях.
1.3. Разбиения на нечетные и различные слагаемые.
1.4. Пятиугольные числа.
Лекция 2. q-биномиальные коэффициенты.
2.1. Диаграммы Юнга и биномиальные коэффициенты.
2.2. Определение q-биномиальных коэффициентов.
2.3. Производящая функция Эйлера как следствие формулы для q-биномиальных коэффициентов.
2.4. q-бином Ньютона.
2.5. Тождество Якоби для тройного произведения.
Лекция 3. Плоские разбиения и формула Макмагона.
3.1. Плоские разбиения.
3.2. Подсчет числа плоских диаграмм высоты 2.
3.3. Детерминантная формула Линдстрёма—Гесселя—Вьенно.
3.4. Определитель Вандермонда.
3.5. Вычисление числа плоских разбиений в параллелепипеде.
3.6. Производящие функции и формула Макмагона.
3.7. Предельная форма формулы Макмагона.
Лекция 4. Знакочередующиеся матрицы и их связь с плоскими разбиениями.
4.1. Тождество Деснано—Якоби.
4.2. Комбинаторное доказательство тождества Деснано—Якоби.
4.3. «Конденсация определителей» по Доджсону.
4.4. λ-определители и знакочередующиеся матрицы.
4.5. Гипотеза о знакочередующихся матрицах.
4.6. Плоские разбиения с дополнительными симметриями.
4.7. Вполне симметричные самодополнительные плоские разбиения.
Литература.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Диаграммы Юнга, плоские разбиения и знакочередующиеся матрицы, Смирнов Е.Ю., 2014 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу, если она есть в продаже, и похожие книги по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить книги


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Смирнов :: диаграмма Юнга