Эллипсы, параболы и гиперболы в совмещенных полярно-декартовых координатах, Шпигельман M., 2006

Эллипсы, параболы и гиперболы в совмещенных полярно-декартовых координатах, Шпигельман M., 2006.

   В предлагаемой работе исследуются эллипсы, параболы и гиперболы в многослойной системе - совмещенных полярно-декартовых координатах. Этот эффективный метод придуман в древней Греции, однако сейчас в математике используется редко. С новых позиций доказаны многочисленные классические результаты, а также совершенно новые. В последних главах приведены несколько коротких биографий. Изложение ведется доступно, но строго. Работа предназначена широкому кругу читателей: школьникам старших классов, студентам, преподавателям, инженерам, математикам.




Нормализация интервалов углов.
Сначала приведем примеры таких интервалов. Любой из углов треугольника или многоугольника можно рассматривать как разность между двумя лучами, каждый из которых имеет свое направление. При поворотах треугольника, может случиться так, что ось абсцисс будет проходить между двумя лучами (т.е. направление 1-го луча будет положительным, а 2-го -отрицательным). В этом случае новая разность углов будет не совпадать с ранее вычисленной разностью (проверьте!).

Т.к. значения углов ни треугольника, ни многоугольника при обычных поворотах не изменяются (существуют еще параболические повороты, гиперболические и т.д.), то для согласования с реальностью, необходимо ввести коррекцию подхода.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Термины, соглашения, сокращения, структура работы.
1. Общие вопросы, функции и методы.
1.1. Функция длины.
1.2. Функция направления ang().
1.3. Функция перемещения точки.
1.4. Уравнение прямой.
1.5. Преобразования.
1.6. Отклонения точек от прямой.
1.7. Прямые в новой системе координат. Вращение прямых.
1.8. Идентификация областей на плоскости.
1.9. Пучки прямых (продолжение). Биссектриса угла между пересекающимися прямыми.
1.10. Разные задачи.
2. Полярное представление дуги и некоторые его свойства.
2.1. Полярное уравнение.
2.2. Полярные параметры для конических кривых. Получение, анализ, преобразования, хранение, взаимосвязи.
2.3. Перемещение дуги на вектор.
2.4. Поворот дуги.
2.5. Зеркальное отображение дуги.
2.6. Определение расположения точки по отношению к кривой.
2.7. Вектор направления касательной в полярных координатах.
3. Система координат Кеплера.
3.1. Общие вопросы.
3.2. Касательная.
3.3. Секущие.
3.4. Общий подход при расчете некоторых элементов эллипса, параболы и гиперболы.
3.5. Основные элементы и соотношения в эллипсе.
3.6. Основные элементы и соотношения в параболе.
3.7. Основные элементы гиперболы.
3.8. Инварианты. Получение параметров полярного уравнения.
4. Биссектриса фокального угла.
4.1. Свойство биссектрисы фокального угла. Теорема Лагира (de la Hire) (обобщенный вариант).
4.2. Координаты полюса.
4.3. Свойство прямой, соединяющей фокус с полюсом.
4.4. Нормальное уравнение стороны фокального угла.
4.5. Отклонения от полюса до сторон фокального угла.
4.6. Некоторые следствия из теоремы о биссектрисе фокального угла.
5. Направление биссектрисы фокального угла ± отклонение.
5.1. Расстояние от фокуса до полюса.
5.2. Координаты полюса. Полярное уравнение точки полюса. Смежные и полюсные преобразования.
5.3. Половина фокального угла, как функция координат полюса. Координаты точек касания.
5.4. Отклонение от полюса до стороны фокального угла.
5.5. Уравнение биссектрисы фокального угла.
5.6. Хорда.
5.7. Углы четырехугольника фокус-полюс.
5.8. Длина касательной от точки касания до полюса.
5.9. Некоторые площади фигур, ограниченные прямыми.
5.10. Автополярные (самосопряженные) треугольники.
5.11. Точка пересечения двух хорд.
5.12. Точка пересечения диагоналей вписанного четырехугольника.
5.13. Теорема Паскаля.
5.14. Теорема Брианшона.
5.15. Принцип двойственности (взаимности, корреляции).
5.16. Гармоническое соотношение.
5.17. Произведение частей секущих. Теорема Эйлера.
5.18. Разные задачи.
6. Диаметр.
6.1. Формулы 1-й модели диаметра.
6.2. 2-я модель построения диаметра: две || касательные.
6.3. 3-я модель построения диаметра: хорда || касательным.
6.4. 4-я модель построения диаметра: построение с помощью внешней точки.
6.5. Основные точки, принадлежащие диаметру и его продолжению.
6.6. Сопряженный диаметр.
6.7. Свойство биссектрисы фокального угла сопряженного диаметра эллипса и гиперболы.
6.8. 5-я модель построения основного диаметра: диаметр, проходящий через точку основания медианы полярного треугольника.
6.9. Вписанный/описанный параллелограммы. Теоремы сохранения Аполлония.
6.10. Задачи на диаметр.
7. Нормаль.
7.1. Уравнение нормали.
7.2. Свойство биссектрисы смежного угла, образованного пересекающимися нормалями.
7.3. Нормаль из внешней точки.
7.4. Радиус кривизны.
7.5. Координаты центра кривизны. Эволюта.
7.6. Определение и уравнение параллельных дуг.
8. Некоторые интегральные свойства.
8.1. Длина дуги.
8.2. Площадь сектора.
Приложения.
П1. Формулы тригонометрии.
П2. Квадратурная формула Гаусса.
П3. Некоторые свойства определителей.
Портреты-миниатюры.
П4. Ф.Лагир (Philippe de La Hire).
П5. Лаланд (Jerome La Lande).
П6. Лаплас (P. S. Laplace).
Предметный указатель.
Литература.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Эллипсы, параболы и гиперболы в совмещенных полярно-декартовых координатах, Шпигельман M., 2006 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу, если она есть в продаже, и похожие книги по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить книги


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Шпигельман :: теорема Паскаля :: эллипс :: парабола :: гипербола