Обобщенные интегралы, Лукашенко Т.П., Скворцов В.А., Солодов А.П., 2011

Обобщенные интегралы, Лукашенко Т.П., Скворцов В.А., Солодов А.П., 2011.

   В настоящей книге излагаются основы современной теории обобщенных интегралов, применяемых в действительном анализе. Представлены результаты новейших исследований в этой области, в том числе некоторые из результатов, полученных авторами книги. Основное внимание уделено конструкции Хенстока—Курцвейля, позволяющей определить интеграл Лебега и ряд других интегралов в терминах обобщенных сумм Римана. Представлена также теория интегрирования функций, принимающих значения в банаховых пространствах. Первая часть книги может служить основой изложения теории интеграла в университетском курсе математического анализа, в котором интегралы Римана и Лебега вводятся одновременно как два частных случая одной и той же конструкции.
Книга предназначена для студентов и аспирантов математических факультетов университетов и всех интересующихся теорией интегралов и их применением.




Дескриптивные определения интегралов.
Приведенное в главе 6 определение интеграла Лебега (см. определение 6.25) является примером так называемого дескриптивного определения. При таком способе определения интеграла описывается класс первообразных (неопределенных интегралов), а определенный интеграл на отрезке определяется как приращение первообразной.

В отличии от такого рода определений, определения типа 2.5, 2.7, 2.8, базирующиеся на составлении интегральных сумм и последующем предельном переходе, в результате чего вычисляется определенный интеграл, называются конструктивными.

Основные требования к классу функций на отрезке прямой, выступающему в качестве класса неопределенных интегралов при дескриптивном определении, состоят в том, чтобы этот класс представлял собой линейное пространство, чтобы функции из этого класса были дифференцируемы почти всюду и чтобы выполнялось условие: если производная функции из этого класса равна нулю почти всюду, то функция является константой. Последнее условие необходимо для однозначности определения интеграла.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Введение.
Часть 1. Римановская теория интегрирования.
Глава 1. Предел функции по базе.
§1. Предварительные сведения и определения.
§2. Свойства пределов по базе.
Глава 2. Определенные интегралы римановского типа.
§1. Определенные интегралы Римана, Мак-Шейна и Хенстока-Курцвейля.
§2. Внешняя мера Лебега и другие сведения из теории меры.
§3. Классы интегрируемых функций.
Глава 3. Неопределенные интегралы.
§1. Определения и простейшие свойства.
§2. Неопределенные интегралы Мак-Шейна и Хенстока-Курцвейля.
§3. Абсолютная интегрируемость.
Глава 4. Интегралы Стилтьеса.
§1. Интегралы Римана-Стилтьеса, Мак-Шейна-Стилтьеса и Хенстка-Курцвейля-Стилтьеса.
§2. Классы интегрируемых функций.
§3. Неопределенные интегралы Стилтьеса.
Глава 5. Предельные переходы под знаком интеграла.
§1. Предельный переход в последовательностях измеримых функций.
§2. Монотонный предельный переход под знаком интеграла.
§3. Интегралы Мак-Шейпа и Хенстока Курцвейля от неотрицательных функций.
§4. Ограниченные предельные переходы под знаком интеграла Мак-Шейна.
§5. Пространства Лебега и их свойства.
Часть 2. Дескриптивные характеристики интегралов.
Глава 6. Класс неопределенных интегралов Мак-Шейна.
§1. Абсолютно непрерывные функции.
§2. Дифференцируемость почти всюду.
§3. AC-функции — неопределенные интегралы Мак-Шейна. Интеграл Лебега.
Глава 7. Дополнительные сведения из теории меры. Вариационная мера.
§1. Внешняя мера и измеримость в смысле Каратеодори.
§2. Метрическая внешняя мера.
§3. Вариационная мера.
Глава 8. Дескриптивные определения интегралов.
§1.  Дескриптивное определение интеграла Хенстока-Курцвейля на основе вариационной меры.
§2.  Класс ACGδ.
§3.  Класс VBG.
§4. Класс ACG. Свойство N Лузина. Узкий интеграл Данжуа.
§5.  Эквивалентность узкого интеграла Данжуа интегралу Хенстока-Курцвейля.
Глава 9. Интеграл Перрона.
§1. Общность P-интеграла.
§2. βδ-вариация и Р0-интеграл.
Часть 3. Интегрирование вектор-функций.
Глава 10. Интегралы Римана и Дарбу.
§1. Интеграл Римана.
§2. Интеграл Дарбу.
§3. Взаимоотношение интегралов Римана и Дарбу.
Глава 11. Измеримые функции.
§1. Сходимость по мере.
§2. Простейшие свойства измеримых функций.
§3. Почти равномерная сходимость.
§4. Теорема Егорова.
§5. Критерий измеримости.
§6. Теорема Петтиса об измеримости.
Глава 12. Интегралы Бохнера и Мак-Шейна.
§1. Понятие интеграла для простых функций.
§2. Распространение интеграла на измеримые функции.
§3. Простейшие свойства интеграла Бохнера.
§4. Интеграл Мак-Шейна.
§5. Вариационный интеграл Мак-Шейна.
§6. Эквивалентность интеграла Бохнера и вариационного интеграла Мак-Шейна.
Глава 13. Свойства интеграла Лебега для банаховозначных функций.
§1. Критерий интегрируемости.
§2. Абсолютная интегрируемость.
§3. Свойства неопределенного интеграла.
§4. Предельные теоремы.
§5. Пространство L([а, b], X).
Глава 14. Интегралы Данжуа и Хенстока—Курцвейля.
§1. Интеграл Хенстока-Курцвейля.
§2. Вариационный интеграл Хенстока-Курцвейля.
§3. Интеграл Данжуа.
§4. Дескриптивное определение интеграла Лебега.
§5. О лемме Колмогорова-Хенстока.
§6. Теорема о равномерной интегрируемости.
Приложение.
§1. Банаховы пространства.
§2. Линейные отображения банаховых пространств.
§3. Специальные пространства.
Комментарии.
Список литературы.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Лукашенко :: Скворцов :: Солодов :: интеграл