Методы численного анализа, Тыртышников Е.Е., 2006

Методы численного анализа, Тыртышников Е.Е., 2006.
        
    Методы численного анализа, как я их вижу это поразительное синергетическое сочетание красивых и глубоких идей и теорий из разных разделов математики: анализа, теории функций, теории операторов, теории приближений, линейной алгебры и матричного анализа. Предмет является синтетическим по сути. Поэтому он особенно труден для освоения и изложения, которое чаще всего сводится к пространному описанию вычислительных рецептов или разбору многочисленных примеров и приложений.
Из сказанного ясно, что книга адресована математикам и тем, кто специализируется в области прикладной математики. Но думаю, что она будет полезной инженерам и, возможно, даже в большей степени, так как дает шанс соприкоснуться, пусть и конспективно, с прекрасными разделами математики, которые как фундамент поддерживают разросшееся здание численного анализа.




Прямые методы для линейных систем.
Мы строим алгоритмы, исходя из какого-то набора элементарных операций. Если для решения задачи требуется конечное число элементарных операций (в точной арифметике), то соответствующий метод называют прямым.

Не для каждой задачи можно придумать прямой метод. Например, с помощью конечного числа арифметических операций нельзя решить уравнение х2 = 2.

Если извлечение корня считать элементарной операцией, то прямой метод уже существует. Но мы знаем (благодаря Галуа, Абелю и Руффини), что и в этом случае невозможно построить прямой метод нахождения корней произвольного полинома степени 5 и выше. Поэтому не стоит пытаться придумывать прямой метод вычисления собственных значений для произвольной матрицы (почему?).

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Глава 1.
1.1. Метрическое пространство.
1.2. Полезные определения.
1.3. Вложенные шары.
1.4. Нормированное пространство.
1.5. Популярные векторные нормы.
1.6. Матричные нормы.
1.7. Эквивалентные нормы.
1.8. Операторные нормы.
Глава 2.
2.1. Скалярное произведение.
2.2. Длина вектора.
2.3. Изометричные матрицы.
2.4. Сохранение длин и унитарные матрицы.
2.5. Теорема Шура.
2.6. Нормальные матрицы.
2.7. Знакоопределенные матрицы.
2.8. Сингулярное разложение матрицы.
2.9. Унитарно инвариантные нормы.
2.10. Короткий путь к сингулярному разложению.
2.11. Аппроксимации меньшего ранга.
Глава 3.
3.1. Теория возмущений.
3.2. Число обусловленности матрицы.
3.3. Сходящиеся матрицы и ряды.
3.4. Простейший итерационный метод.
3.5. Обратные матрицы и ряды.
3.6. Обусловленность линейной системы.
3.7. Согласованность матрицы и правой части.
3.8. Возмущение собственных значений.
3.9. Непрерывность корней полинома.
Глава 4.
4.1. Диагональное преобладание.
4.2. Круги Гершгорина.
4.3. Малые возмущения собственных значений и векторов.
4.4. Обусловленность простого собственного значения.
4.5. Аналитические возмущения.
Глава 5.
5.1. Спектральные расстояния.
5.2. “Симметричные” теоремы.
5.3. Георема Виландта-Хоффмана.
5.4. Перестановочные диагонали.
5.5. “Ненормальное” обобщение.
5.6. Собственные значения эрмитовых матриц.
5.7. Соотношения разделения.
5.8. Что такое кластеры?.
5.9. Кластеры сингулярных чисел.
5.10. Кластеры собственных значений.
Глава 6.
6.1. Машинные числа.
6.2. Аксиомы машинной арифметики.
6.3. Ошибки округления для скалярного произведения.
6.4. Прямой и обратный анализ.
6.5. Немного философии.
6.6. Пример “плохой” операции.
6.7. Еще один пример.
6.8. Идеальные и машинные тесты.
6.9. Вверх или вниз.
6.10. Решение треугольных систем.
Глава 7.
7.1. Прямые методы для линейных систем.
7.2. Теория LU-разложения.
7.3. Ошибки округления для LU-разложения.
7.4. Выбор ведущего элемента.
7.5. Полный выбор.
7.6. Метод Холецкого.
7.7. Треугольные разложения и решение систем.
7.8. Как уточнить решение.
Глава 8.
8.1. QR-разложение квадратной матрицы.
8.2. QR-разложение прямоугольной матрицы.
8.3. Матрицы отражения.
8.4. Исключение элементов с помощью отражений.
8.5. Матрицы вращения.
8.6. Исключение элементов с помощью вращений.
8.7. Машинные реализации отражений и вращений.
8.8. Метод ортогонализации.
8.9. Потеря ортогональности.
8.10. Как бороться с потерей ортогональности.
8.11. Модифицированный алгоритм Грама Шмидта.
8.12. Двухдиагопализация.
8.13. Приведение к почти треугольной форме.
Глава 9.
9.1. Проблема собственных значений.
9.2. Степенной метод.
9.3. Итерации подпространства.
9.4. Расстояние между подпространствами.
9.5. Подпространства и ортопроекторы.
9.6. Расстояния и ортопроекторы.
9.7. Подпространства одинаковой размерности.
9.8. Углы между подпространствами и CS-разложение.
9.9. Сходимость для блочно диагональной матрицы.
9.10. Сходимость в общем случае.
Глава 10.
10.1. QR-алгоритм.
10.2. Основные соотношения.
10.3. Сходимость QR-алгоритма.
10.4. Доказательство теоремы о сходимости.
10.5. GR-алгоритм.
10.6. Разложение Брюа.
10.7. Что будет, если матрица X-1 не является строго регулярной.
10.8. QR-итерации и итерации подпространств.
Глава 11.
11.1. QR-алгоритм со сдвигами.
11.2. Обобщенный QR-алгоритм.
11.3. Лемма о QR-итерации.
11.4. Квадратичная сходимость.
11.5. Кубическая сходимость.
11.6. Что делает QR-алгоритм эффективным.
11.7. Неявные QR-итерации.
11.8. Организация вычислений.
11.9. Как найти сингулярное разложение.
Глава 12.
12.1. Приближение функций.
12.2. Полиномиальная интерполяция.
12.3. Плохая обусловленность матрицы Вандермонда.
12.4. Интерполяционный полином Лагранжа.
12.5. Погрешность лагранжевой интерполяции.
12.6. Разделенные разности.
12.7. Формула Ньютона.
12.8. Разделенные разности с кратными узлами.
12.9. Обобщенные интерполяционные условия.
12.10. Таблица разделенных разностей.
12.11. Остаточный член многомерной интерполяции.
Глава 13.
13.1. Сходимость интерполяционного процесса.
13.2. Сходимость проекторов.
13.3. Линейные непрерывные операторы в банаховом пространстве.
13.4. Алгебраические и тригонометрические полиномы.
13.5. Проекторы, связанные с рядом Фурье.
13.6. “Пессимистические” результаты.
13.7. Чем плохи равномерные сетки.
13.8. Полиномы Чебышева и чебышевские сетки.
13.9. “Оптимистические” результаты.
13.10. Полиномы Чебышева и эллипсы Бернштейна.
13.11. Интерполяция аналитических функций.
13.12. Многомерная интерполяция на чебышевских сетках.
Глава 14.
14.1. Сплайны.
14.2. Естественные сплайны.
14.3. Вариационное свойство естественных сплайнов.
14.4. Построение естественных сплайнов.
14.5. Аппроксимационные свойства естественных сплайнов.
14.6. В-сплайны и разделенные разности.
14.7. Рекуррентная формула для В-сплайнов.
14.8. В-сплайны па равномерных сетках.
14.9. Сплайны и интеграл Фурье.
14.10. Квазилокальность и ленточные матрицы.
Глава 15.
15.1. Минимизация нормы.
15.2. Равномерные приближения.
15.3. Полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля.
15.4. Ряд Тейлора и его дискретный аналог.
15.5. Квазиоптимальность интерполяционных приближений.
15.6. Принцип наибольших объемов.
15.7. Метод наименьших квадратов.
15.8. Ортогональные полиномы.
15.9. Трехчленные рекуррентные соотношения.
15.10. Корни ортогональных полиномов.
15.11. Разложение интерполяционного полинома.
15.12. Ортогональные полиномы и разложение Холецкого.
Глава 16.
16.1. Численное интегрирование.
16.2. Интерполяционные квадратурные формулы.
16.3. Алгебраическая точность квадратурной формулы.
16.4. Популярные квадратурные формулы.
16.5. Формулы Гаусса.
16.6. Составные квадратурные формулы.
16.7. Правило Рунге для оценки погрешности.
16.8. Как интегрировать “плохие” функции.
16.9. Интегралы от быстроосциллирующих функций.
16.10. Применение полиномов Лежандра.
Глава 17.
17.1. Нелинейные уравнения.
17.2. Метод простой итерации.
17.3. Сходимость и расходимость метода простой итерации.
17.4. Оптимизация метода простой итерации.
17.5. Метод Ньютона и эрмитова интерполяция.
17.6. Сходимость метода Ньютона.
17.7. Всюду Ньютон.
17.8. Многомерное обобщение.
17.9. Прямая и обратная интерполяция.
17.10. Метод секущих.
17.11. Что лучше: метод секущих или метод Ньютона?.
Глава 18.
18.1. Методы минимизации.
18.2. Снова Нью-гон.
18.3. Релаксация.
18.4. Дробление шага.
18.5. Существование и единственность точки минимума.
18.6. Градиентный метод с дроблением шага.
18.7. Метод скорейшего спуска.
18.8. Сложность простого вычисления.
18.9. Быстрое вычисление градиента.
18.10. Полезные идеи.
18.11. Квазиньютоновские методы.
18.12. Сходимость для квадратичных функционалов.
Глава 19.
19.1. Квадратичные функционалы и линейные системы.
19.2. Минимизация и проекционные методы.
19.3. Подпространства Крылова.
19.4. Оптимальные подпространства.
19.5. Оптимальность подпространств Крылова.
19.6. Метод минимальных невязок.
19.7.4-норма и.4-ортогональность.
19.8. Метод сопряженных градиентов.
19.9. От матричных разложений к итерационным методам.
19.10. Формальное скалярное произведение.
19.11. Метод биортогонализации.
19.12. Метод квазиминимальных невязок.
Глава 20.
20.1. Сходимость метода минимальных невязок.
20.2. Условие строгой эллиптичности.
20.3. Оценки с помощью полиномов.
20.4. Полиномы и резольвента.
20.5. Предельная скорость сходимости.
20.6. Числовая область матрицы.
20.7. Оценка резольвенты.
20.8. Сходимость в случае нормальных матриц.
20.9. Минимальные невязки и уравнение Лапласа.
20.10. Метод логарифмического потенциала.
20.11. Обоснование метода.
Глава 21.
21.1. Сходимость метода сопряженных градиентов.
21.2. Классическая оценка.
21.3. Более точные оценки.
21.4. Метод Арнольди и метод Ланцоша.
21.5. Числа Ритца и векторы Ритца.
21.6. Сходимость чисел Ритца.
21.7. Важное свойство.
21.8. “Сверхлинейная сходимость” и “исчезающие” собственные значения.
21.9. Явные и неявные предобусловливатели.
21.10. Предобусловливание эрмитовых матриц.
21.11. Оценки числа итераций.
Глава 22.
22.1. Операторные уравнения.
22.2. Слабые решения.
22.3. Метод конечных элементов.
22.4. Аппроксимация, устойчивость, сходимость.
22.5. Метод Галеркина.
22.6. Компактные возмущения.
22.7. Формы и операторы.
22.8. Существование решений.
22.9. Теория Рисса-Фредгольма.
22.10. Сопряженные операторы.
22.11. Интегральные уравнения.
22.12. Функциональные пространства.
Глава 23.
23.1. Многосеточный метод.
23.2. Алгебраическая формулировка.
23.3. Сглаживатель.
23.4. Основные предположения.
23.5. Общая схема многосеточного метода.
23.6. Основное уравнение и неравенство.
23.7. Анализ V-цикла.
23.8. Анализ W-цикла.
23.9. Интересные наблюдения.
23.10. Простейший пример.
23.11. Коррекции на подпространствах.
Глава 24.
24.1. Матрицы специального вида.
24.2. Циркулянты и теплицевы матрицы.
24.3. Циркулянты и матрицы Фурье.
24.4. Быстрое преобразование Фурье.
24.5. Циркулянтные предобусловливатели.
24.6. Оптимальные циркулянты для теплицевых систем.
24.7. Строение обратных матриц.
24.8. Теплицевы ранги.
24.9. Алгоритмы метода окаймления.
Глава 25.
25.1. Нелинейные аппроксимации.
25.2. Малый ранг и ленточные матрицы.
25.3. Многоуровневые матрицы.
25.4. Матрицы и функции.
25.5. Асимптотически сепарабельные функции.
25.6. Метод крестовой аппроксимации.
25.7. Суперфункции.
25.8. Классические вейвлеты.
25.9. Обобщенные вейвлеты.
Литература.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Методы численного анализа, Тыртышников Е.Е., 2006 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать файл № 1 - pdf
Скачать файл № 2 - djvu
Ниже можно купить эту книгу, если она есть в продаже, и похожие книги по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить книги


Скачать - djvu - Яндекс.Диск.

Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Тыртышников :: численный анализ