Функциональный анализ, Курс лекций, Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г., 1990

Функциональный анализ, Курс лекций, Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г., 1990.

   Изложены основы функционального анализа и теории операторов: теория меры и интеграла, нормированные пространства и функционалы и операторы в них, спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах (включая неограниченные операторы и теорию разложений по обобщенным собственным векторам), элементы теории обобщенных функций как конечного, так и бесконечного порядка, теория интегральных уравнений.
Теоретический материал иллюстрируется большим числом примеров и упражнений для самостоятельной работы. Изложение ведется с учетом возможных приложений к задачам современной математической физики.
Для студентов университетов, обучающихся по специальности «Математика». Может быть использовано студентами втузов и пединститутов, аспирантами и научными работниками.




Конструкция расширения.
Построение теории расширения эрмитовых операторов будет сведено посредством развитого в §6 преобразования Кэли к теории расширения изометрических операторов, выглядящей геометрически очень простой.

Ниже под дефектными числами m, n оператора, действующего в гильбертовом пространстве Н, будут пониматься числа 0,1, ... или ∞ (см. §4). Такое соглашение вполне достаточно, если Н сепарабельно. Для общих Н т, п будут уже кардинальными числами (см. замечание 4.2). Излагаемые ниже факты и в этом случае сохраняются, а их доказательства нужно лишь модернизировать в духе сказанного в § VII.10.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Глава I. Теория меры.
§1. Операции над множествами. Упорядоченные множества.
§2. Системы множеств.
§3. Понятие меры множества. Простейшие свойства меры.
§4. Внешняя мера.
§5. Измеримые множества и продолжение меры.
§6. Свойства мер и измеримых множеств.
§7. Монотонные классы множеств и единственность продолжения меры.
§8. Меры, принимающие бесконечные значения.
§9. Мера Лебега ограниченных линейных множеств.
§10. Мера Лебега на прямой.
§11. Мера Лебега в N-мерном евклидовом пространстве.
§12. Дискретная мера.
§13. Некоторые сведения о неубывающих функциях.
§14. Построение меры по неубывающей функции. Мера Лебега — Стилтьеса.
§15. Восстановление неубывающей функции по мере Лебега — Стилтьеса.
§16. Заряды и их свойства.
§17. Связь функций ограниченной вариации с зарядами.
Глава II. Измеримые функции.
§1. Измеримые пространства и пространства с мерой. Измеримые функции.
§2. Свойства измеримых функций.
§3. Эквивалентность функций.
§4. Последовательности измеримых функций.
§5. Простые функции. Приближение измеримых функций простыми. Теорема Лузина.
Глава III. Теория интеграла.
§1. Интегрирование простых функций.
§2. Интегрирование измеримых ограниченных функций.
§3. Связь между интегралами Римана и Лебега.
§4. Интегрирование неотрицательных неограниченных функций.
§5. Интегрирование неограниченных функций любого знака.
§6. Предельный переход под знаком интеграла Лебега.
§7. Интегрирование по множеству бесконечной меры.
§8. Суммируемость и несобственный интеграл Римана.
§9. Интегрирование комплекснозначных функций.
§10. Интеграл по заряду.
§11. Интеграл Лебега — Стилтьеса. Связь с интегралом Римана — Стилтьеса.
§12. Интеграл Лебега и теория рядов.
Глава IV. Меры в произведениях пространств. Теорема Фубини.
§1. Прямое произведение измеримых пространств, сечение множеств и функций.
§2. Произведение мер.
§3. Теорема Фубини.
§4. Произведение конечного числа мер.
Глава V. Абсолютная непрерывность и сингулярность мер, зарядов и функций. Теорема Радона — Никодима. Замена переменной в интеграле Лебега.
§1. Абсолютно непрерывные меры и заряды.
§2. Теорема Радона — Никодима.
§3. Производная Радона — Никодима. Замена переменной в интеграле Лебега.
§4. Отображения пространств с мерой. Замена переменной о интеграле Лебега (другой подход).
§5. Сингулярность мер и зарядов. Разложение в смысле Лебега.
§6. Абсолютно непрерывные функции. Простейшие свойства.
§7. Связь абсолютно непрерывных функций с зарядами.
§8. Формула Ньютона — Лейбница. Сингулярные функции. Разложение функции ограниченной вариации в смысле Лебега.
Глава VI. Линейные нормированные и гильбертовы пространства.
§1. Понятие топологического пространства.
§2. Линейные топологические пространства.
§3. Линейные нормированные и банаховы пространства.
§4. Пополнение линейных нормированных пространств.
§5. Предгильбертовы и гильбертовы пространства.
§6 Квазискалярное произведение и полунормы.
§7. Примеры банаховых и гильбертовых пространств.
§8. Пространства суммируемых функций. Пространства lр.
Глава VII. Линейные непрерывные функционалы и сопряженные пространства.
§1. Теорема о почти ортогональном векторе. Конечномерные пространства.
§2. Линейные непрерывные функционалы и их простейшие свойства. Сопряженное пространство.
§3. Продолжение линейных непрерывных функционалов.
§4. Некоторые следствия из теоремы Хана — Банаха.
§5. Общий вид линейных непрерывных функционалов в некоторых банаховых пространствах.
§6. Вложение линейного нормированного пространства во второе сопряженное. Рефлексивные пространства.
§7. Теорема Банаха — Штейнгауза. Слабая сходимость.
§8. Понятие тихоновского произведения и слабая топология в сопряженном пространстве.
§9. Ортогональность и ортогональные проекции в гильбертовом пространстве. Общий вид линейного непрерывного функционала.
§10. Ортонормированные системы векторов и ортонормированные базисы в гильбертовом пространстве.
Глава VIII. Линейные непрерывные операторы.
§1. Линейные операторы в нормированных пространствах.
§2. Пространство линейных непрерывных операторов.
§3. Произведение операторов. Обратный оператор.
§4. Сопряженный оператор.
§5. Линейные операторы в гильбертовых пространствах.
§6. Матричное представление операторов в гильбертовом пространстве.
§7. Операторы Гильберта — Шмидта.
§8. Спектр и резольвента линейного непрерывного оператора.
Глава IX. Компактные операторы. Уравнения с компактными операторами.
§1. Определение и свойства компактных операторов.
§2. Теория Рисса— Шаудера разрешимости уравнений с компактными операторами.
§3. Разрешимость интегральных уравнений Фредгольма.
§4. Спектр компактного оператора.
§5. Спектральный радиус оператора.
§6. Решение интегральных уравнений второго рода методом последовательных приближений.
Глава X. Спектральное разложение для компактных самосопряженных операторов. Аналитические функции от операторов.
§1. Спектральное разложение для компактного самосопряженного оператора.
§2. Интегральные операторы с эрмитовыми ядрами.
§3. Интеграл Бохнера.
§4. Аналитические функции от операторов.
Глава XI. Элементы теории обобщенных функций.
§1. Основные и обобщенные функции.
§2. Операции над обобщенными функциями.
§3. Обобщенные функции медленного роста. Преобразование Фурье.
Глава XII. Общая теория неограниченных операторов в гильбертовом пространстве.
§1. Определение неограниченного оператора. График оператора.
§2. Замкнутые операторы и операторы, допускающие замыкание. Дифференциальные операторы.
§3. Понятие сопряженного оператора.
§4. Дефектные числа общих операторов.
§5. Эрмитовы и самосопряженные операторы. Общие сведения.
§6. Изометрические и унитарные операторы. Преобразование Кэли.
§7. Теория расширения эрмитовых операторов до самосопряженных.
Глава XIII. Спектральные разложения для самосопряженных, унитарных и нормальных операторов. Критерии самосопряженности.
§1. Понятие разложения единицы и его свойства.
§2. Построение спектральных интегралов.
§3. Образ разложения единицы и замена переменных в спектральных интегралах. Произведение разложений единицы.
§4. Спектральное разложение для ограниченных самосопряженных операторов.
§5. Спектральное разложение для унитарного и ограниченного нормального операторов.
§6. Спектральные разложения для неограниченных операторов.
§7. Спектральное представление однопараметрической унитарной группы и операторные дифференциальные уравнения.
§8. Эволюционные критерии самосопряженности.
§9. Квазианалитические критерии самосопряженности и коммутируемости.
§10. Самосопряженность возмущенного оператора.
Глава XIV. Оснащенные пространства.
§1. Гильбертовы оснащения.
§2. Оснащение гильбертова пространства линейными топологическими пространствами.
§3. Соболевские пространства в ограниченной области.
§4. Соболевские пространства в неограниченной области. Классические пространства основных функций.
§5. Тензорные произведения пространств.
§6. Теорема о ядре.
§7. Пополнение пространства по двум нормам.
§8. Полуограниченные билинейные формы.
Глава XV. Разложение по обобщенным собственным векторам.
§1. Дифференцирование операторнозначной меры и разложения единицы.
§2. Обобщенные собственные векторы и проекционная спектральная теорема.
§3. Преобразование Фурье по обобщенным собственным векторам и прямой интеграл гильбертовых пространств.
§4. Разложение по собственным функциям карлемановского оператора
Глава XVI. Дифференциальные операторы.
§1. Теорема об изоморфизмах для эллиптического оператора.
§2. Локальное повышение гладкости обобщенных решений эллиптических уравнений.
§3. Эллиптические дифференциальные операторы в области с границей
§4. Дифференциальные операторы в RN.
§5. Разложение по собственным функциям и функция Грина эллиптических дифференциальных операторов.
§6. Обыкновенные дифференциальные операторы.
Список использованной и рекомендуемой литературы.
Комментарий к списку литературы.
Предметный указатель.
Список основных обозначений.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Функциональный анализ, Курс лекций, Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г., 1990 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу, если она есть в продаже, и похожие книги по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить книги


Скачать - djvu - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Березанский :: Ус :: Шефтель :: теорема Фубини :: интеграл