Ряды Фурье и ортогональные полиномы, Джексон Д., 1948

Ряды Фурье и ортогональные полиномы, Джексон Д., 1948.

   Небольшая книжка Д. Джексона представляет собой изложение важной области математики, лежащей на границе нескольких математических дисциплин (теория функций, анализ и специально краевые задачи для дифференциальных уравнений). Изложение по возможности современно и строго, но в то же время элементарно. Больше внимания уделено выяснению основ данной теории и ее связей со смежными разделами математики и математической физики, чем изысканным тонкостям, возникающим при желании довести изложение до предельной общности и логической законченности.




Ряды Фурье и колебания струны.
Колебания однородной, упругой струны с закрепленными концами описываются, при идеализированных условиях, являющихся лишь приближением к физической действительности, дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка, и к решению соответствующей краевой задачи можно опять-таки применить ряды Фурье.

Пусть ось x проходят через закрепленные концы струны и пусть начало координат совпадает с одним из ее концов. Допустим, что колебания струны происходят в одной плоскости, которую мы примем за плоскость (х, у). Если точка, находящаяся в положении равновесия (х, 0), перемещается к моменту t в положение (х,у), то движение струны полностью описывается в математических терминах, если определить у как функцию от х я t.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Глава I. РЯДЫ ФУРЬЕ.
1. Определение рядов Фурье.
2. Ортогональность синусов и косинусов.
3. Вычисление коэффициентов.
4. Ряды косинусов и ряды синусов.
5. Примеры.
6. Абсолютная величина коэффициентов при специальных предположениях.
7. Теорема Римана о пределе коэффициентов ряда Фурье.
8. Формула для суммы косинусов.
9. Интегральная формула для частной суммы ряда Фурье.
10. Сходимость в точке непрерывности.
11. Равномерная сходимость при специальных предположениях.
12. Сходимость в точке разрыва.
13. Достаточность условий, относящихся к поведению функции в окрестности точки, для решения вопроса о сходимости соответствующего ряда Фурье в этой точке.
14. Теорема Вейсрштрасса о тригонометрической аппроксимации.
15. Свойство наименьшего квадрата.
16. Равенство Парсеваля.
17. Суммируемость рядов.
18. Теорема Фейера для непрерывных функций.
19. Доказательство теоремы Вейерштрасса с помощью интегральной формулы Валле-Пуссена.
20. Константы Лебега.
21. Доказательство равномерной сходимости методом Лебега.
Глава II. ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА.
1. Предварительные замечания.
2. Определение полиномов Лежандра при помощи производящей функции.
3. Рекуррентная формула.
4. Дифференциальное уравнение и связанные с ннм формулы.
5. Ортогональность.
6. Нормирующий множитель.
7. Разложение произвольной функции в ряд по полиномам Лежандра.
8. Тождество Кристоффеля.
9. Решение дифференциального уравнения.
10. Формула Родрига.
11. Интегральное представление.
12. Границы для Рn(х).
13. Сходимость в точке непрерывности, лежащей внутри интервала (—1, 1).
14. Сходимость в точке разрыва, лежащей внутри интервала (—1, 1).
Глава III. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ.
1. Предварительные замечания.
2. Определение функции J0(x).
3. Ортогональность.
4. Интегральное представление для  J0(x).
5. Нули функции J0(x) и связанных с ней фeнкций.
6. Разложение произвольной функции в ряд.
7. Определение функций Jn(x).
8. Ортогональность и разложение в ряд.
9. Интегральное представление для Jn(x).
10. Рекуррентные формулы.
11. Нули.
12. Асимптотическая формула.
13. Ортогональные функции и линейные красные задачи.
Глава IV. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ.
1. Ряды Фурье и уравнение Лапласа в бесконечной позоре.
2. Ряды Фурье и уравнение Лапласа в прямоугольнике.
3. Ряды Фурье и колебания струны.
4. Ряды Фурье и затухающие колебания с трупы.
5. Полярные, координаты на плоскости.
6. Ряды Фурье и уравнение Лапласа в круге, интеграл Пуассона.
7. Преобразование уравнения Лапласа в трехмерном пространстве.
8. Ряды Лежандра и уравнение Лапласа в шаре.
9. Ряды Бесселя и уравнение Лапласа в цилиндре.
10. Ряды Бесселя и круглая мембрана.
Главк V. ДВОЙНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ЛАПЛАСА.
1. Краевая задача для куба; двойные ряды Фурье.
2. Общие сферические функции.
3. Ряды Лапласа.
4. Гармонические полиномы.
5. Поворот осей координат.
6. Интегральное представление группы членов ряда Лапласа.
7. Полнота системы сферических функций.
8. Краевая задача для цилиндра; ряды по функциям Бесселя положительного порядка.
Глава VI. ФУНКЦИИ ПИРСОНА.
1. Дифференциальное уравнение Пирсона.
2. Случай, когда знаменатель — полином второй степени с действительными корнями.
3. Случай, когда знаменатель — полином второй степени с комплексными корнями.
4. Случай, когда знаменатель — линейная функция или постоянная.
5. Конечность моментов.
Глава VII. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ.
1. Вес.
2. Метод Шмидта.
3. Ортогональные полиномы, соответствующие произвольному весу.
4. Разложение произвольной функции в ряд.
5. Рекуррентная формула.
6. Тождество Кристоффеля-Дарбу.
7. Случай симметричного интервала ортогональности и четной весовой функции.
8. Нули полинома рп(х).
9. Свойство наименьшего квадрата.
10. Дифференциальное уравнение.
Глава VIII. ПОЛИНОМЫ ЯКОБИ.
1. Обобщение формулы Родрига.
2. Ортогональность.
3. Старшие коэффициенты.
4. Нормирующий множитель; ряды по полиномам Якоби.
5. Рекуррентная формула.
6. Дифференциальное уравнение.
Глава IX. ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА.
1. Определение.
2. Ортогональность и нормирующий множитель.
3. Ряды Эрмита и Грама-Шарлье.
4. Рекуррентные формулы; дифференциальное уравнение.
5. Производящая функция.
6. Волновое уравнение линейного осциллятора.
Глава X. ПОЛИНОМЫ ЛАГЕРРА.
1. Определение.
2. Ортогональность;нормирующий множитель; ряды Лагерра.
3. Дифференциальное уравнение и рекуррентные формулы.
4. Производящая функция.
5. Волновое уравнение для атома водорода.
Глава XI. СХОДИМОСТЬ.
1. Задачи настоящей главы.
2. Величина коэффициентов; первое предположение.
3. Сходимость; первое предположение.
4. Величина коэффициентов; второе предположение.
5. Сходимость; второе предположение.
6. Специальные полиномы Якоби.
7. Умножение и деление весовой функции на полином.
8. Теорема Коруса об ограниченных ортонормированных.
полиномах.
Упражнения.
Библиография.
Именной указатель.
Предметный указатель.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Ряды Фурье и ортогональные полиномы, Джексон Д., 1948 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу, если она есть в продаже, и похожие книги по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить книги


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Джексон