Основания геометрии, Костин В.И., 1946

Основания геометрии, Костин В.И., 1946.

   Настоящий курс сложился в результате многократного чтения его в Горьковском государственном университете и Горьковском педагогическом институте.
Как при чтении курса, так и при подготовке его к печати автору приходилось искать надлежащее сочетание логических и исторических элементов. Конечно, можно было бы начинать с современной, аксиоматики, выводя из нее потом все исторически ценное. Но такой путь, вполне доброкачественный в научном отношении, страдал бы педагогическими недостатками, ибо нельзя не согласиться с тем, что "если мы о чем-нибудь не знаем, как оно произошло, то и не понимаем его". И это прежде всего относится к современной аксиоматике геометрии и связанному с ней методу формально-логической дедукции. Вне надлежащего исторического введения он представляется учащимся висящей в воздухе конструкцией, необходимость, подлинный смысл и значение которой остаются для нега скрытыми, сколько бы мы их ни декларировали.
К тому же будущему учителю и ученому не только полезно, но и необходимо знать историю своего предмета — знать, что, где, когда и как произошло и под влиянием чего приняло свой настоящий вид.




Геометрия до Евклида.
Знаменитые „Начала“ Евклида, в которых дана первая из дошедших до нас попыток дедуктивного построения геометрии, продержавшаяся как образец строго логического изложения науки более 2000 лет, являются творческим итогом предшествующей многовековой работы мысли. Чтобы выяснить, на какой почве возникло это выдающееся произведение древнегреческой культуры, мы начнем с краткого обзора того, что было сделано математиками древности до Евклида.

От исторической картины нам нередко остаются лишь ее скудные отрывки, по которым чрезвычайно трудно, а иногда и совершенно невозможно восстановить ее настоящий образ. Родиной геометрии считают Вавилон и Египет. Через Прокла (греческого комментатора Евклида), о котором мы подробнее будем говорить ниже, до нас дошел отрывок одного из древних сочинений, начинающийся следующими словами: „Так как нам необходимо здесь обозреть начало наук и искусств, то мы сосчитаем, что геометрия, по свидетельству весьма многих, была открыта египтянами и возникла при измерении земли. Эго измерение было необходимо вследствие разлития реки Нила, постоянно смывавшего границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного переходит в совершенное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно постепенно становится предметом нашего рассмотрения и, наконец, делается достоянием нашего разума).

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Глава I. Краткий исторический очерк.
§1. Геометрия до Евклида.
§2. „Начала" Евклида.
§3. Попытки улучшить аксиоматику Евклида.
§4. Попытки доказать пятый постулат Евклида.
§5. Открытие неевклидовой геометрии.
Глава II. Абсолютная геометрия.
§1. Введение.
§2. Аксиомы сочетания I1-10 и их следствия.
§3. Аксиомы порядка II1-4,и их следствия.
§4. Аксиомы движения III1-10 и их следствия.
§5. Аксиома непрерывности IV и её следствия.
§6. Заключительные теоремы абсолютной геометрии.
Глава III. Геометрия Евклида.
§1. Аксиоматика евклидовой геометрии.
§2. Непротиворечивость евклидовой геометрии (аналитическая интерпретация).
§3. Геометрия фигур.
§4. Интерпретация Пуанкаре.
§5. Внутренняя геометрия развертывающейся поверхности.
§6. Полнота аксиоматики евклидовой геометрии.
§7. Предложения, эквивалентные 5-му постулату Евклида.
§8. О независимости аксиом.
Глава IV. Геометрия Лобачевского.
§1. Аксиоматика геометрии Лобачевского.
§2. Непротиворечивость геометрии Лобачевского (интерпретация Бельтрами-Клейна).
§3. Основные теоремы геометрии Лобачевского на плоскости.
§4. Основные теоремы геометрии Лобачевского в пространстве.
§5. Предельная линия и предельная поверхность.
Глава V. Тригонометрия Лобачевского и абсолютная тригонометрия.
§1. Основная формула метрики Лобачевского.
§2. Формулы тригонометрии прямоугольного треугольника.
§3. Формулы сложения в тригонометрии Лобачевского.
§4 Аналитическое выражение функции Лобачевского.
§5. Формулы тригонометрии косоугольного треугольника.
§7 Тригонометрия центральной связки. Взаимоотношение тригонометрии Лобачевского со сферической.
§8. Геометрия Лобачевского в малом и её соответствие с опытом.
Глава VI. Интерпретации геометрии Лобачевского.
§1. Полнота аксиоматики геометрии Лобачевского.
§2. Метрика в интерпретации Бельтрами-Клейна.
§3. Интерпретация Пуанкаре.
§4. Геометрия Лобачевского и теория поверхностей.
Глава VII. Теория площадей.
§1. Площадь многоугольника в геометрии Евклида.
§2. Равновеликость и равносоставленность многоугольников.
§3. Измерение площадей в геометрии Лобачевского.
§4. Развитие понятия о площади.
Литература.

Купить .





Теги: учебник по геометрии :: геометрия :: Костин