Уравнения Пелля, Бугаенко В.О., 2001

Уравнения Пелля, Бугаенко В.О., 2001.
     
   Уравнения Пелля представляют собой класс диофантовых уравнений второй степени. Они связаны со многими важными задачами теории чисел. Решение уравнений Пелля — задача непростая, хотя и выполнимая методами элементарной математики. Ключевую роль в исследовании этих уравнений играет геометрическая лемма Минковского о выпуклом теле. Эта лемма неожиданно возникает во многих задачах теории чисел и является одним из ярких примеров связи алгебры и геометрии.
Основной результат, которому посвящена брошюра, — полное описание решений уравнений Пелля.
Текст брошюры представляет собой обработанную и расширенную запись двух лекций, прочитанных автором 19 февраля и 15 апреля 2000 года на малом мехмате МГУ для школьников 9-11 классов.
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей...




Как найти решение уравнения Пелля?
Приведённое доказательство существования нетривиального решения уравнения Пелля обладает существенным недостатком: оно неконструктивно. Иными словами, доказательство не даёт никаких путей к нахождению решения. Зададимся теперь вопросом, как найти частное (желательно основное) решение уравнения Пелля. Один из способов напрашивается сам собой: будем перебирать последовательно все целые положительные значения у до тех пор, пока число my2+1 не окажется точным квадратом. Такой алгоритм рано или поздно приведёт нас к основному решению. Однако же у нас нет никаких оценок того, насколько долго он будет работать. И действительно, этот алгоритм не всегда эффективен. Для некоторых небольших значений m значения х и у, представляющие основное решение, достаточно велики. Например, при m = 109 десятичная запись числа x состоит из 15 цифр, а числа у — из 14. Поэтому осуществление такого алгоритма за разумное время нереально даже с использованием компьютера.

Аналогично тому как алгоритм Евклида помог нам эффективно найти решение линейного диофантова уравнения, для нахождения решения уравнения Пелля нам понадобится понятие цепной дроби.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Диофантовы уравнения.
Что такое уравнения Пелля?.
Пример: уравнение х2-2у2=1.
Линейные диофантовы уравнения.
Алгоритм Евклида.
Пример: уравнение 3х+5у=22.
Общее решение линейного диофантова уравнения.
График уравнения Пелля.
Умножение точек.
Общее решение уравнения Пелля.
Гиперболический поворот.
Квадратичные иррациональности.
Деление точек.
Лемма Минковского о выпуклом теле.
Завершение доказательства существования нетривиального решения уравнения Пелля.
Как найти решение уравнения Пелля?.
Цепные дроби.
Подходящие дроби как приближения действительных чисел рациональными.
Решения уравнения Пелля — числители и знаменатели подходящих дробей.
Исторический комментарий.
Литература.
Ответы, указания, решения.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Уравнения Пелля, Бугаенко В.О., 2001 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу, если она есть в продаже, и похожие книги по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить книги


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Бугаенко :: алгоритм Евклида