Обыкновенные дифференциальные уравнения, Арнольд В.И., 2012

Обыкновенные дифференциальные уравнения, Арнольд В.И., 2012.

   За сорок лет, прошедших со времени выхода первого издания, этот учебник успел стать классическим. Большое внимание уделяется геометрическому смыслу основных понятий. В книге прослеживается тесная связь предмета с приложениями, в особенности с механикой. При изложении делается упор не на формулы, а на геометрический смысл основных определений и теорем. Автор знакомит читателя с такими понятиями, как многообразия, однопараметрические группы диффеоморфизмов, касательные пространства и расслоения. В число рассматриваемых примеров из механики входит исследование фазовых портретов консервативных систем с одной степенью свободы, теория малых колебаний, параметрический резонанс.
Книга предназначена для студентов и аспирантов математических факультетов университетов и вузов с расширенной программой по математике.




Фазовые пространства.
Теория обыкновенных дифференциальных уравнений — одно из основных орудий математического естествознания. Эта теория позволяет изучать всевозможные эволюционные процессы, обладающие свойствами детерминированности, конечномерности и дифференцируемости. Прежде чем дать точные математические определения, рассмотрим несколько примеров.

Примеры эволюционных процессов. Процесс называется детерминированным, если весь его будущий ход и все его прошлое однозначно определяются состоянием в настоящее время. Множество всевозможных состояний процесса называется фазовым пространством.

Так, например, классическая механика рассматривает движение систем, будущее и прошлое которых однозначно определяются начальными положениями и начальными скоростями всех точек системы. Фазовое пространство механической системы — это множество, элементом которого является набор положений и скоростей всех точек данной системы.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие к третьему изданию.
Предисловие к первому изданию.
Некоторые постоянно употребляемые обозначения.
Глава 1. Основные понятия.
§1. Фазовые пространства.
§2. Векторные поля на прямой.
§3. Линейные уравнения.
§4. Фазовые потоки.
§5. Действие диффеоморфизмов на векторные поля и на поля направлений.
§6. Симметрии.
Глава 2. Основные теоремы.
§7. Теоремы о выпрямлении.
§8. Применения к уравнениям выше первого порядка.
§9. Фазовые кривые автономной системы.
§10. Производная по направлению векторного поля и первые интегралы.
§11. Линейные и квазилинейные уравнения первого порядка с частными производными.
§12. Консервативная система с одной степенью свободы.
Глава 3. Линейные системы.
§13. Линейные задачи.
§14. Показательная функция.
§15. Свойства экспоненты.
§16. Определитель экспоненты.
§17. Практическое вычисление матрицы экспоненты — случай вещественных и различных собственных чисел.
§18. Комплексификация и овеществление.
§19. Линейное уравнение с комплексным фазовым пространством.
§20. Комплексификация вещественного линейного уравнения
§21. Классификация особых точек линейных систем.
§22. Топологическая классификация особых точек.
§23. Устойчивость положений равновесия.
§24. Случай чисто мнимых собственных чисел.
§25. Случай кратных собственных чисел.
§26. О квазимногочленах.
§27. Линейные неавтономные уравнения.
§28. Линейные уравнения с периодическими коэффициентами.
§29. Вариация постоянных.
Глава 4. Доказательства основных теорем.
§30. Сжатые отображения.
§31. Доказательство теорем существования и непрерывной зависимости от начальных условий.
§32. Теорема о дифференцируемости.
Глава 5. Дифференциальные уравнения на многообразиях.
§33. Дифференцируемые многообразия.
§34. Касательное расслоение. Векторные поля на многообразии.
§35. Фазовый поток, заданный векторным полем.
§36. Индексы особых точек векторного поля.
Программа экзамена.
Образцы экзаменационных задач.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Арнольд