Численное решение обыкновенных дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений, Скворцов Л.М., 2018

Численное решение обыкновенных дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений, Скворцов Л.М., 2018.

   Книга посвящена численному решению задач с начальными условиями для обыкновенных дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений. Рассматриваются явные и неявные, одношаговые и многошаговые методы, среди которых новые оригинальные методы. Особое внимание уделено решению жестких задач (в том числе и с использованием специальных явных методов), а также решению дифференциально-алгебраических задач высших индексов. Наряду с теоретическими результатами приведены результаты решения тестовых задач и рассмотрены вопросы программной реализации численных методов.
Для всех, кто интересуется численными методами решения дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений.




Методы и их свойства.
Неявные методы Рунге-Кутты обычно применяют для решения жестких и дифференциально-алгебраических уравнений. Важность эффективного решения таких задач обусловлена тем, что сложные многофункциональные объекты содержат элементы разной физической природы, и поэтому протекающие в них процессы имеют разный временной масштаб. А это означает, что уравнения, описывающие такие процессы, почти наверняка являются жесткими и могут содержать не только дифференциальные, но и алгебраические соотношения. Мы уже убедились, что классические явные методы не подходят для эффективного решения таких задач. Некоторые классы жестких задач могут быть эффективно решены специальными явными методами, но наиболее универсальным и надежным средством решения жестких уравнений остаются неявные методы.

Решение большинства инженерных задач не требует высокой точности вычислений. Поэтому имеет смысл применять методы низких порядков, которые при умеренных требованиях к точности более эффективны, чем методы высоких порядков. Необходимость разработки эффективных методов низкой точности отмечалась в [103]. Такие методы могут быть востребованы при решении больших задач, а также при моделировании в реальном времени. Методы низких порядков достаточно просты, поэтому на них удобно отлаживать различные процедуры, входящие в состав решателя ОДУ. Опыт эффективной реализации таких методов может быть полезен и при реализации более сложных методов высоких порядков.

Оглавление.
Предисловие.
Глава 1 Задача Коши и методы ее решения.
1.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
1.2. Точность и устойчивость численных методов.
1.3. Жесткие задачи.
1.4. Меры жесткости, колебательности и неустойчивости задачи Коши.
1.5. Колебательные задачи.
1.6. Плохо обусловленные задачи.
1.7. Задачи с разрывами.
1.8. Одношаговые методы Рунге-Кутты.
1.9. Многошаговые методы.
1.10. Явные методы для жестких задач.
1.11. Дифференциально-алгебраические уравнения.
Глава 2 Явные методы Рунге-Кутты для нежестких задач.
2.1. Условия порядка и коэффициенты погрешности.
2.2. Требования к параметрам методов.
2.3. Управление размером шага.
2.4. Методы 1-го и 2-го порядков.
2.5. Методы 3-го порядка.
2.6. Методы 4-го порядка.
2.7. Методы 5-го порядка.
2.8. Тестовое сравнение методов.
2.9. Решение задач с разрывами.
Глава 3 Неявные методы Рунге-Кутты и Розенброка 2-го порядка.
3.1. Методы и их свойства.
3.2. Схемы реализации.
3.3. Метод трапеций.
3.4. Метод TR-BDF2.
3.5. Метод Лобатто IIIC.
3.6. Численные эксперименты.
3.7. Методы типа Розенброка.
3.8. Схемы решения дифференциально-алгебраических уравнений.
Глава 4 Сходимость методов Рунге-Кутты при решении жестких и дифференциально-алгебраических задач.
4.1. Сводка результатов о сходимости.
4.2. Феномен снижения порядка.
4.3. Сходимость явных методов при решении жестких задач.
4.4. Неявные методы, обратные к явным методам.
4.5. Модельные уравнения для нежестких задач.
4.6. Модельные уравнения для ДАУ индекса 1.
4.7. Жесткие модельные уравнения.
4.8. Функции погрешности и псевдостадийный порядок.
4.9. Модельные уравнения для ДАУ индекса 2.
4.10. Модельные уравнения для ДАУ индекса 3.
Глава 5 Диагонально-неявные методы Рунге-Кутты.
5.1. Функция устойчивости.
5.2. Функции погрешности.
5.3. Условия порядка.
5.4. Методы 3-го порядка.
5.5. Методы 4-го порядка.
5.6. Методы 5-го порядка.
5.7. Методы ESDIRK 3-го псевдостадийного порядка.
5.8. Двухшаговые диагонально-неявные методы.
5.9. Диагонально расширенные однократно неявные методы.
5.10. Реализация методов ESDIRK.
5.11. Реализация методов DESI.
5.12. Изменение размера шага и обновление матрицы Якоби.
5.15. Численные эксперименты.
Глава 6 Неявные методы повышенной точности для жестких задач и ДАУ.
6.1. Коллокационные методы Рунге-Кугты для жестких задач.
6.2. Коллокационные методы Рунге-Кугты для ДАУ индексов 2 и 3.
6.3. Неявные методы Рунге-Кугты с явными внутренними стадиями.
6.4. Неявный двухшаговый метод пятого порядка для жестких задач и ДАУ.
Глава 7 Явные методы с расширенными областями устойчивости.
7.1. Явные стабилизированные методы Рунге-Кутты.
7.2. Многочлены устойчивости.
7.3. Построение стабилизированных методов Рунге-Кутты 2-го порядка.
7.4. Упорядочение внутренних шагов (стадий).
7.5. Стабилизированные методы порядков 3 и 4.
7.6. Двухшаговые стабилизированные методы 1-го порядка.
7.7. Трехшаговый стабилизированный метод 2-го порядка.
7.8. Оценивание границы жесткого спектра.
7.9. Численные эксперименты.
Глава 8 Явные адаптивные методы для жестких и колебательных задач.
8.1. Построение явных адаптивных методов Рунге-Кутты.
8.2. Сходимость адаптивных методов.
8.3. Адаптивный метод порядка 2 для нежестких и 1 для жестких задач.
8.4. Адаптивные методы Рунге-Кутты порядков 2 и 3.
8.5. Методы с покомпонентным оцениванием двух собственных значений.
8.6. Построение многошаговых адаптивных методов.
8.7. Двухшаговый адаптивный метод.
8.8. Многошаговый адаптивный метод переменного порядка и шага.
8.9. Численные эксперименты.
Литература.

Купить - rtf .

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Скворцов