Экспериментальная математика, Арнольд В.И., 2018

Экспериментальная математика, Арнольд В.И., 2018.

   В первой части книги выдающийся математик В. И. Арнольд в полемической форме рассуждает о соотношении чистой и прикладной математики.
Вторая часть книги содержит записи курсов лекций, прочитанных автором в Дубне в 2005 году, на летней школе «Современная математика». В ней рассказывается о нескольких новых направлениях математических исследований, основанных на численных экспериментах.




ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА.
Вопреки мнению большинства современных математиков, я, вслед за Пуанкаре, считаю математику частью физики, т. е. экспериментальной наукой. Слово «математика» означает «точное знание», и соответствующие открытия были получены из наблюдений явлений природы Два основных метода мышления — это индукция, выводящая общие законы из их частных проявлений, и дедукция, доставляющая частные случаи выполнения общих правил. Лейбниц говорил, что, в то время как к индукции способны животные (вроде собак Павлова), дедукция доступна только человеческим существам (подобным членам правового общества, подчиняющимся адвокатам и судьям).

Например, доказав, что дифференциал суммы равен сумме дифференциалов слагаемых, Лейбниц немедленно сформулировал общий алгебраический закон, утверждающий, что дифференцирование — гомоморфизм кольца функций. Эта его ошибка объясняет термин «формула Лейбница» для производной от произведения: он следовал в развитии алгебры дифференциального исчисления своему ошибочному правилу несколько месяцев (и далее обучал ему своего возражавшего ученика, Бернулли).

Оглавление.
Часть I Экспериментальная математика.
Часть II Экспериментальное наблюдение математических фактов.
Предисловие.
Лекция 1. Статистика топологии и алгебры.
§1. Шестнадцатая проблема Гильберта.
§2. Статистика гладких функций.
§3. Статистика и топология периодических функций и тригонометрических многочленов.
§4. Алгебраическая геометрия тригонометрических многочленов.
Лекция 2. Комбинаторная сложность и случайность.
§1. Геометрия бинарных последовательностей.
§2. Графы операций взятия разностей.
§3. Логарифмическая функция и её сложность.
§4. Сложность и случайность таблиц полей Галуа.
Лекция 3. Случайные перестановки и диаграммы Юнга их циклов.
§1. Статистика диаграмм Юнга перестановок небольшого числа элементов.
§2. Экспериментирование со случайными перестановками большего числа элементов.
§3. Случайные перестановки р2 элементов, порождённые полями Галуа.
§4. Статистика циклов автоморфизмов Фибоначчи.
Лекция 4. Геометрия чисел Фробениуса для аддитивных полугрупп.
§1. Теорема Сильвестра и числа Фробениуса.
§2. Загораживающие деревья леса.
§3. Геометрия чисел.
§4. Оценка числа Фробениуса сверху.
§5. Средние значения чисел Фробениуса.
§6. Доказательство теоремы Сильвестра.
§7. Геометрия цепных дробей чисел Фробениуса.
§8. Распределение точек аддитивной полугруппы на отрезке до числа Фробениуса.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Арнольд