Геометрические неравенства, Путеводитель в задачах и теоремах, Гашков С.Б., 2013

Геометрические неравенства, Путеводитель в задачах и теоремах, Гашков С.Б., 2013.

   Книга содержит более 600 задач и теорем, посвященных геометрическим неравенствам, в основном для выпуклых многоугольников и многогранников. Среди задач есть как легкие, так и трудные; часть задач в разное время предлагались на математических олимпиадах для школьников. К некоторым задачам даны указания, а иногда и полные решения.
Книга предназначена для учащихся, но может быть интересна учителям, студентам и всем, кто интересуется математикой. Содержащиеся в ней задачи могут использоваться в работе математических кружков. Решая их, учащиеся познакомятся с доказательствами интересных геометрических теорем, сильно отличающихся от известных им по школьному курсу, и даже смогут попробовать решить еще никем не решенные задачи.




Выпуклые многоугольники.
Примерами выпуклых многоугольников являются треугольники, параллелограммы и трапеции, известные всем по школьным учебникам. Некоторые слышали также про правильные многоугольники.

Дадим общее определение, даже два. Многоугольником называется конечная часть плоскости, ограниченная замкнутой непересекающейся ломаной линией. Ломаная линия — это кривая линия, состоящая из конечного числа прямолинейных отрезков (звеньев ломаной), любые два соседних из которых имеют общий конец. Ломаная замкнута, если первое и последнее звено тоже имеют общий конец (и поэтому тоже считаются соседними). Ломаная несамопересекающаяся, если ее несоседние звенья не имеют общих точек (не пересекаются). Очевидно, трехзвенная ломаная несамопересекающаяся и ограничивает треугольник. Четырехзвенная ломаная уже может самопересекаться. Если она несамопересекается, то ограничивает четырехугольник, не обязательно выпуклый. Далее без оговорок рассматриваем только замкнутые несамопересекающиеся ломаные. Оговорка о конечной части нужна, потому что эта ломаная ограничивает две непересекающиеся части плоскости — конечную, лежащую внутри ломаной, и бесконечную, лежащую вне ее. В общем случае n—звенная ломаная ограничивает n—угольник. Однако это утверждение не так очевидно, как это кажется на первый взгляд, и является частным случаем знаменитой теоремы Жордана о кривых.

Оглавление.
1. Неравенства для треугольников, четырехугольников и многоугольников.
1.1. Простейшие задачи на максимум и минимум.
1.2. Выпуклые многоугольники.
1.3. Неравенства для треугольников.
1.4. Экстремальные свойства правильного треугольника.
1.5. Доказательство теоремы об экстремальных свойствах правильного треугольника.
1.6. Опять неравенства для треугольников.
1.7. Неравенства для четырехугольников.
1.8. Теоремы Юнга, Бляшке и Пала.
1.9. Неравенства для выпуклых многоугольников.
2. Неравенства для выпуклых многоугольников, фигур и тел.
2.1. Экстремальные свойства выпуклых многоугольников.
2.2. Экстремальные точки в выпуклых многоугольниках.
2.3. Быстрое вычисление различных мер для выпуклых многоугольников.
2.4. Симметризация по Минковскому.
2.5. Изодиаметрические неравенства.
2.6. Экстремальные многоугольники Рейнхардта.
2.7. Изопериметрические неравенства для выпуклых фигур.
2.8. Симметризация по Штейнеру.
2.9. «Задача Дидоны».
2.10. Фигуры постоянной ширины.
2.11. Метод усреднения.
2.12. Задачи о диаметрах.
2.13. Задача Лебега о покрышках для фигур данного диаметра.
2.14. Задача Борсука.
2.15. Приближение выпуклых фигур многоугольниками.  
2.16. Линейные системы выпуклых фигур и смешанные площади.
2.17. Неравенство Брунна—Минковского.
2.18. Неравенства для выпуклых фигур с тремя линейными мерами.
2.19. Неравенства для тетраэдра.
2.20. Неравенства для параллелепипеда.
2.21. Некоторые теоремы о выпуклых многогранниках и телах.
Литература

Купить .





Теги: учебник по геометрии :: геометрия :: Гашков :: неравенства