Лекции по функциональному анализу, Хелемский А.Я., 2004

Лекции по функциональному анализу, Хелемский А.Я., 2004.

   Книга представляет собой университетский учебник по функциональному анализу. Она рассчитана на студентов 3–5 курсов, аспирантов и преподавателей математических факультетов, а также специализирующихся в области математики и теоретической физики научных работников. В ее основу положены лекции, многократно читавшиеся автором на механико-математическом факультете МГУ, и семинарские занятия, которые регулярно проводились им в академических группах этого факультета.
Вводимые понятия и доказываемые утверждения общего характера иллюстрируются большим числом примеров и упражнений (задач).
От читателя требуется подготовка в объеме двух первых курсов математических факультетов российских университетов.



Категории и их первые примеры.
Говоря о совокупностях или семействах каких-то объектов, мы будем в одних случаях говорить «множество», а в других — «класс». Дело в том, что употреблять в строгом математическим смысле один и тот же термин, скажем, множество, для всех мыслимых совокупностей нельзя. Например, допуская понятие «множества всех множеств», мы придем к ряду известных парадоксов, столь омрачивших когда-то последние годы Кантора. Поэтому там, где мы не уверены, что можно говорить о множествах, — а это касается, говоря нестрого, «слишком больших» совокупностей, мы будем, как это принято, говорить «класс». Получается, что всякое множество есть класс, но не наоборот: скажем, класс всех линейных пространств не есть множество. Для наших нужд подобный «наивный» выход из положения вполне достаточен. В строгой теории множеств все, конечно, гораздо сложнее. Рассказ о том, что там понимается под множествами и что — под классами и почему подобная «игра в термины» спасает нас от противоречий, выходит за рамки этой книги; см., например, [23]. (Мы лишь намекнем, что множествами целесообразно считать в точности те классы, которым разрешено быть элементами других классов.)

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава 0 Фундамент: категории и иже с ними
§1. О множествах, а также линейных и метрических пространствах
§2. Топологические пространства
§3 Категории и их первые примеры
§4. Изоморфизмы. Проблема классификации объектов и морфизмов
§5. Другие виды морфизмов
§6. Образец теоретико-категорной конструкции (ко)произведение
§7. Функторы
Глава 1 Нормированные пространства и ограниченные операторы. (В ожидании полноты)
§1. Преднормированные и нормированные пространства. Примеры
§2. Скалярные произведения и почти гильбертовы пространства
§3. Ограниченные операторы: первые сведения и самые необходимые примеры
§4. Топологические и категорные свойства ограниченных операторов
§5. Некоторые типы операторов и операторные конструкции. Проекторы
§6. Функционалы и теорема Хана — Банаха
§7. Приглашение в квантовый функциональный анализ
Глава 2. Банаховы пространства и их преимущества
§1. То, что лежит на поверхности
§2. Категории банаховых и гильбертовых пространств. Вопросы классификации и Теорема Фишера — Рисса
§3. Теорема об ортогональном дополнении и вокруг нее
§4. Принцип открытости и принцип равномерной непрерывности
§5. Функтор банаховой сопряженности и другие категорные вопросы
§6. Пополнение
§7. Алгебраическое и банахово тензорное произведение
§8 Гильбертово тензорное произведение   
Глава 3. От компактных пространств до фредгольмовых операторов
§1. Компакты и связанные с ними функциональные пространства
§2. Метрические компакты и сверхограниченность
§3. Компактные операторы: общие свойства и примеры
§4. Компактные операторы между гильбертовыми пространствами и их некоторые классы
§5. Фредгольмовы операторы и индекс
Глава 4. Полинормированные пространства, слабые топологии и обобщенные функции
§1. Полинормированные пространства  
§2. Слабые топологии   
§3. Пространства пробных и обобщенных функций
§4 Обобщенные производные и вопросы строения обобщенных функций  
Глава 5. У врат спектральной теории  
§1. Спектры операторов и их классификация. Примеры
§2. Немного алгебры алгебры
§3. Банаховы алгебры и спектры их элементов. Еще немного о фредгольмовости  
Глава 6. Гильбертовы сопряженные операторы и спектральная теорема
§1. Гильбертова сопряженность: первые сведения
§2 Самосопряженные операторы и их спектры. Теорема Гильберта — Шмидта
§3. Взгляд,сверху: инволютивные алгебры, С*-алгебры и алгебры фон Нойманна
§4. Непрерывное функциональное исчисление и положительные операторы
§5. Спектральная теорема в облике операторнозначного интеграла Римана — Стильтьеса
§6. Борелево исчисление и спектральная теорема в облике операторнозначного интеграла Лебега
§7. Геометрическая форма спектральной теоремы: модели и классификация
§8 Отличнику доказательство завершенной спектральной теоремы
Глава 7. Преобразование Фурье
§1. Классическое преобразование Фурье
§2. Свертка и преобразование Фурье как гомоморфизм
§3. Преобразование Фурье пробных и обобщенных функций
§4. Преобразование Фурье квадратично интегрируемых функций
§5. Кое-что о гармоническом анализе на группах
Список литературы
Указатель обозначений
Предметный указатель.

Купить книгу Лекции по функциональному анализу, Хелемский А.Я., 2004 .





Теги: учебник по математике :: математика :: Хелемский