Лекции по функциональному анализу, Хелемский А.Я., 2004

Лекции по функциональному анализу, Хелемский А.Я., 2004.

   Книга представляет собой университетский учебник по функциональному анализу.. Она рассчитана на студентов 3—5 курсов аспирантов и преподавателей математических факультетов, а также специализирующихся в области математики и теоретической физики научных работников. В ее основу положены лекции, многократно читавшиеся автором на механико-математическом факультете МГУ и семинарские занятия, которые регулярно проводились им в академических группах этого факультета.
Вводимые понятия и доказываемые утверждения общего характера иллюстрируются большим числом примеров и упражнений (задач).
От читателя требуется подготовка в объеме двух первых курсов математических факультетов российских университетов.




Приглашение в квантовый функциональный анализ.
Этот параграф целиком адресован просвещенному, а главное — любопытному читателю и не предполагается обязательным даже для отличников. Здесь мы попробуем дать, на самом элементарном уровне, представление о новой структуре функционального анализа, выдвинувшейся на передний план за последние 20 лет.

Если взглянуть на эту структуру с достаточно общей точки зрения, то ее появление отражает дальнейший этап в победном шествии некоей новой математической идеологии. Этот взгляд на вещи зародился в математическом аппарате квантовой механики и захлестнул современную алгебру и геометрию, а в функциональном анализе прочно обосновался в теории операторных алгебр. За последние годы волна этой новомодной, так называемой «некоммутативной» или «квантовой» математики докатилась и до самых основ функционального анализа: теперь подверглась квантованию сама норма.

В чем же суть этой новой математической религии? Если выражаться «непонятно, но здорово», то ее главный догмат таков: квантовая математика получается из классической путем замеры функций на операторы. Попытаемся сказать чуть определеннее. Та выдающаяся роль, которую в «классической» математике играют функции с их коммутативным — поточечным — умножением, в «квантовой» математике переходит к операторам с их некоммутативным — композиционным — умножением. Но главное, пожалуй, в том, каким образом происходит этот переход. Оказывается — ив это мы должны уверовать — фундаментальные понятия и результаты классической математики на самом деле обладают содержательными квантовыми аналогами или версиями. Можно сказать, что они представляют небольшую видимую («классическую*) часть огромного «квантового» айсберга. И чтобы постичь весь этот айсберг, надо осознать (догадаться?), как разумным образом заменить лежащие в основе этих понятий (результатов, методов, проблем,...) функции иа операторы.

Содержание.
Предисловие.
Глава 0 Фундамент: категории и иже с ними.
§1. О множествах, а также линейных и метрических пространствах.
§2. Топологические пространства §3 Категории и их первые примеры.
§4. Изоморфизмы. Проблема классификации объектов и морфизмов.
§5. Другие виды морфизмов.
§6. Образец теоретико-категорной конструкции (ко)произведение.
§7. Функторы.
Глава 1 Нормированные пространства и ограниченные операторы. (В ожидании полноты).
§1. Преднормированные и нормированные пространства. Примеры.
§2. Скалярные произведения и почти гильбертовы пространства.
§3. Ограниченные операторы: первые сведения и самые необходимые примеры.
§4. Топологические и категорные свойства ограниченных операторов
§5. Некоторые типы операторов и операторные конструкции. Проекторы.
§6. Функционалы и теорема Хана — Банаха.
§7. Приглашение в квантовый функциональный анализ.
Глава 2. Банаховы пространства и их преимущества.
§1. То, что лежит на поверхности.
§2. Категории банаховых и гильбертовых пространств. Вопросы классификации и Теорема Фишера — Рисса.
§3. Теорема об ортогональном дополнении и вокруг нее
§4. Принцип открытости и принцип равномерной непрерывности.
§5. Функтор банаховой сопряженности и другие категорные вопросы.
§6. Пополнение.
§7. Алгебраическое и банахово тензорное произведение.
§8. Гильбертово теизорное произведение.
Глава 3 От компактных пространств до фредгольмовых операторов.
§1. Компакты и связанные с ними функциональные пространства.
§2. Метрические компакты и сверхограниченность.
§3. Компактные операторы: общие свойства и примеры.
§4. Компактные операторы между гильбертовыми пространствами и их некоторые классы.
§5. Фредгольмовы операторы и индекс.
Глава 4. Полинормированные пространства, слабые топологии и обобщенные функции.
§1. Полинормированные пространства.
§2. Слабые топологии.
§3. Пространства пробных и обобщенных функций.
§4. Обобщенные производные и вопросы строения обобщенных функций.
Глава 5 У врат спектральной теории.
§1. Спектры операторов и их классификация. Примеры.
§2. Немного алгебры.
§3. Банаховы алгебры и спектры их элементов. Еще немного о фредгольмовости.
Глава 6. Гильбертовы сопряженные операторы и спектральная теорема.
§1 Гильбертова сопряженность: первые сведения.
§2 Самосопряженные операторы и их спектры. Теорема Гильберта — Шмидта.
§3. Взгляд сверху: инволютивные алгебры, С-алгебры и алгебры фон Нойманна.
§4. Непрерывное функциональное исчисление и положительные операторы.
§5. Спектральная теорема в облике операторнозначного интеграла Римана — Стильтьеса.
§6. Борелево исчисление и спектральная теорема в облике операторнозначного интеграла Лебега.
§7. Геометрическая форма спектральной теоремы: модели и классификация.
§8. Отличнику доказательство завершенной спектральной теоремы.
Глава 7 Преобразование Фурье.
§1. Классическое преобразование Фурье.
§2. Свертка и преобразование Фурье как гомоморфизм.
§3. Преобразование Фурье пробных и обобщенных функций.
§4. Преобразование Фурье квадратично интегрируемых функций.
§5. Кое-что о гармоническом анализе на группах.
Список литературы.
Указатель обозначений.
Предметный указатель.

Купить .

Купить - rtf .





Теги: учебник по математике :: математика :: Хелемский