Римановы поверхности и нелинейные уравнения, Дубровин Б.А., 2001

Функции Бейкера—Ахиезера.
Среди «элементарных функций» комплексного переменного следующим по сложности случаем после рациональных функций являются экспоненты. Экспонента еz аналитична в С и имеет существенную особенность в точке z = оо. Если q(z) — рациональная функция, то f(z) = — еq(z) аналитична в С = СР1 всюду, кроме полюсов функции q(z), где f(z) имеет существенные особые точки.

Обобщение функций типа экспонент на римановы поверхности высших родов рассматривалось в прошлом веке Клебшем и Горданом. Оказывается, при g > 0 такие функции, в отличие от обычной экспоненты, как правило, будут иметь полюсы. Бейкер заметил, что такие функции типа экспоненты выражаются через тэта-функции римановых поверхностей. Н. И. Ахиезер впервые обратил внимание [1], что функции типа экспоненты на гиперэллиптических римановых поверхностях при определенных условиях являются собственными функциями линейных дифференциальных операторов второго порядка. Следуя установившейся традиции, мы будем называть функции типа экспоненты на римановых поверхностях функциями Бейкера-Ахиезера. Современная точка зрения на теорию функций Бейкера-Ахиезера выкристаллизовалась в результате изучения и обобщения аналитических свойств собственных функций обыкновенных линейных дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами (см. (9-12, 16]). Общая теория функция Бейкера-Ахиезера и ее приложения к линейным дифференциальным и разностным операторам и нелинейным уравнениям была построена И. М. Кричевером [18-20], подходу которого мы и будем, в основном, следовать в лекциях 12-14.

Содержание
Введение
ЛЕКЦИЯ 1. Определение римановой поверхности. Локальные координаты. Точки ветвления. Гиперэллиптические римановы поверхности. Кратность точки ветвления
ЛЕКЦИЯ 2. Римановы поверхности как двумерные вещественные многообразия. Компактификация римановой поверхности. Примеры. Род римановой поверхности. Вычисление рода для гиперэллиптических поверхностей. Монодромия. Формула Римана-Гурвица
ЛЕКЦИЯ 3. Мероморфные функции на римановой поверхности. Голоморфные отображения римановых поверхностей. Биголоморфный изоморфизм римановых поверхностей. Примеры. Замечания об особых алгебраических кривых
ЛЕКЦИЯ 4. Дифференциалы на римановой поверхности. Голоморфные дифференциалы. Периоды замкнутых дифференциалов. Циклы на римановой поверхности, индекс пересечения, канонический базис циклов. Соотношение между периодами замкнутых дифференциалов
ЛЕКЦИЯ 5. Билинейные соотношения Римана для периодов голоморфных дифференциалов и их важнейшие следствия. Эллиптические функции
ЛЕКЦИЯ 6. Мероморфные дифференциалы, их вычеты и периоды
ЛЕКЦИЯ 7. Многообразие Якоби. Теорема Абеля ЛЕКЦИЯ 8. Дивизоры на римановой поверхности. Канонический класс. Теорема Римана-Роха
ЛЕКЦИЯ 9. Некоторые следствия из теоремы Римана-Роха. Строение поверхностей рода 1. Точки Вейерштрасса. Каноническое вложение
ЛЕКЦИЯ 10. Постановка задачи обращения Якоби. Определение и простейшие свойства общих тэта-функций
ЛЕКЦИЯ 11. Теорема Римана о нулях тэта-функции и ее простейшие приложения
ЛЕКЦИЯ 12. Функции Бейкера-Ахиезера
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Функция Бейкера-Ахиезера. Приложения к нелинейным уравнениям
1. Одноточечная функция Бейкера-Ахиезера. Уравнение Кадомцева-Петвиашвили и уравнения, связанные с ним
2. Двухточечная функция Бейкера-Ахиезера. Уравнение Шрёдингера в магнитном поле
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Эффективизация полученных формул решений уравнений КдФ и КП. Восстановление римановой поверхности по ее многообразию Якоби. Проблема Римана и гипотеза С.П.Новикова
1. Уравнение КдФ - род g = 1, 2
2. Уравнение КП - род 2 и род 3
3. Уравнение КП - род g >= 2. Канонические уравнения римановых поверхностей
4. Проблема Римана о соотношениях между периодами голоморфных дифференциалов на римановой поверхности и гипотеза С.П.Новикова
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Примеры гамильтоновых систем, интегрируемых в двумерных тэта-функциях
1. Двухзонные потенциалы
2. Задача С.В. Ковалевской
3. Задачи Неймана и Якоби. Общая система Гарнье
4. Движение тела в идеальной жидкости. Интегрирование случая Клебша. Многомерное твердое тело
Литература.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Римановы поверхности и нелинейные уравнения, Дубровин Б.А., 2001 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать книгу Римановы поверхности и нелинейные уравнения, Дубровин Б.А., 2001 - djvu - depositfiles.

Скачать книгу Римановы поверхности и нелинейные уравнения, Дубровин Б.А., 2001 - djvu - Яндекс.Диск.