Слабо выпуклые множества и функции, Теория и приложения, Иванов Г.Е., 2006

Слабо выпуклые множества и функции, Теория и приложения, Иванов Г.Е., 2006.
 
   Систематически изложена теория слабо выпуклых множеств и функций — новый раздел математики, имеющий богатые приложения. В отличие от традиционного понимания выпуклости как качественного свойства (множество или функция либо обладает свойством, либо нет) в книге излагается качественная теория выпуклости: исследуются параметры, определяющие насколько функция или множество сильно или слабо выпуклы. Слабо выпуклый анализ позволяет установить точную количественную взаимосвязь двух фундаментальных понятий — гладкости и выпуклости.
Рассматриваются приложения в теории аппроксимации и теории многозначных отображений, экстремальных и минимаксных задачах, оптимальном управлении и дифференциальных играх. Показано, что во многих прикладных задачах сильная или слабая выпуклость исходных данных приводит к той или иной регулярности или устойчивости и позволяет построить эффективный алгоритм решения.
Для студентов старших курсов университетов, аспирантов и специалистов в области оптимизации, использующих выпуклый и функциональный анализ.




Отношение «выпукло сильнее».
В работах [10, 47, 54, 58, 65, 73] разработан аксиоматический подход к понятию выпуклости и введено понятие Ф-выпуклости (замечание 1.21.1). Мы рассматриваем отношение «выпукло сильнее», которое является важным частным случаем понятия Ф-выпуклости. В свою очередь рассмотренные в нашей книге понятия сильной выпуклости множеств, слабой выпуклости множеств по Ефимову-Стечкину (но не по Виалю), а также понятия сильной и слабой выпуклости функций являются частными случаями отношения «выпукло сильнее» (теоремы 1.21.2,2.9.1).

Показано, что отношение «выпукло сильнее» является рефлексивным и транзитивным. Исследован вопрос, при каких условиях операции геометрической суммы и разности множеств сохраняют отношение «выпукло сильнее» (теоремы 1.21.4, 1.21.8). Показано, что в этом вопросе важную роль играет свойство множества быть порождающим, рассмотренное в книге [39].

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Введение.
Глава 1. Слабо выпуклые множества.
§1.1. Прямое и двойственное определения сильной и слабой выпуклости.
§1.2. Свойства сильно выпуклого отрезка.
§1.3. Элементарные свойства слабо выпуклых множеств.
§1.4. Локальная связность множества, слабо выпуклого по Виалю.
§1.5. Сохранение слабой выпуклости при предельном переходе.
§1.6. Опорный принцип.
§1.7. Метрическая проекция на слабо выпуклое множество.
§1.8. Взаимосвязь слабой выпуклости по Виалюи по Ефимову–Стечкину.
§1.9. Слабая монотонность нормального конуса для слабо выпуклого множества.
§1.10. Слабая выпуклость и гладкость множеств.
§1.11. Геометрические операции над множествами.
§1.12. Исчисление констант сильной и слабой выпуклости для множеств.
§1.13. Перестановочность геометрических операций.
§1.14. Геодезические во множестве, слабо выпуклом по Виалю.
§1.15. Зависимость геодезической от соединяемых точек и множества.
§1.16. Локальная слабая выпуклость множеств.
§1.17. Касательные конусы.
§1.18. Отделимость сильно выпуклого множества от слабо выпуклого.
§1.19. Слабая выпуклость гладкого многообразия.
§1.20. Сильно и слабо выпуклые оболочки множеств.
§1.21. Отношение «выпукло сильнее» для множеств.
Глава 2. Слабо выпуклые функции.
§2.1. Слабая выпуклость и гладкость функций.
§2.2. Эпи-операции над функциями.
§2.3. Связь геометрических операций над множествами и эпи-операций над функциями.
§2.4. Исчисление параметров выпуклости для функций.
§2.5. Исчисление констант сильной и слабой выпуклости для функций.
§2.6. Отделимость графиков сильно выпуклой и слабо вогнутой функций.
§2.7. Верхняя и нижняя производные второго порядка.
§2.8. Сильно и слабо выпуклые оболочки функций.
§2.9. Отношение «выпукла сильнее» для функций.
Глава 3. Применение сильно и слабо выпуклого анализа.
§3.1. Аппроксимации непрерывной функции гладкими функциями.
§3.2. Непрерывность многозначных отображений.
§3.3. Паравыпуклость.
§3.4. Непрерывные селекторы многозначных отображений.
§3.5. Параметризация многозначных отображений.
§3.6. Изменение параметров слабой выпуклости при преобразованиях множеств. Слабая выпуклость множества достижимости.
§3.7. Взаимосвязь различных типов выпуклости функций и множеств.
§3.8. Сильно выпуклые штрафные функции.
§3.9. Минимизация сильно выпуклой функции по слабо выпуклому множеству.
§3.10. Минимаксные задачи.
§3.11. Квадратичная сходимость алгоритма вычисления цены дифференциальной игры.
§3.12. Теорема об альтернативе для дифференциальных игры с терминальным множеством.
§3.13. Седловая точка в классе программных стратегий.
§3.14. Дифференциальные игры с эллипсоидальными штрафами.
Приложение. Связи основных результатов.
Список литературы.
Список обозначений.
Предметный указатель.


Ниже можно купить эту книгу, если она есть в продаже, и похожие книги по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить книги


Купить .

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Иванов