Курс математического анализа, Том 1, Немыцкий В.В., Слудская М.И., Черкасов А.Н., 1944

Курс математического анализа, Том 1, Немыцкий В.В., Слудская М.И., Черкасов А.Н., 1944.
 
Фрагмент из книги.
Аксиома порядка. В обыденной речи часто употребляют слова «следующий» и «предшествующий» (или «предыдущий») или «следует» и «предшествует». Например, если событие Ъ происходит позже события а, то говорят, что «событие b следует за а» или «событие а предшествует b»; если мы имеем список избирателей, причём каждый, избиратель имеет свой номер, то мы говорим, что избиратель, имеющий больший номер, следует за избирателем, имеющим меньший номер, а избиратель с меньшим номером предшествует избирателю, имеющему больший номер; если речь идёт о рациональных числах, то часто говорят, что большее число следует за меньшим, а меньшее предшествует большему; если мы читаем книгу, то написанное на десятой странице предшествует тому, что написано на сотой, и т. д.




ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
Впервые с иррациональностями встретились в геометрии, в связи с проблемой измерения отрезков. Проблема эта ставилась следующим образом. Даны два отрезка. Найти общую для них единицу измерения, т. е. такой отрезок, который укладывался бы на каждом из них целое число раз. Если такой отрезок есть, то рассматриваемые отрезки «соизмеримы». Оказалось, что не всякие два отрезка соизмеримы: существуют несоизмеримые отрезки, и простейшим примером таких отрезков служат диагональ и сторона квадрата.

Если отрезки АВ и CD соизмеримы, т. е. существует отрезок, укладывающийся на АВ некоторое целое число п раз и на CD целое число m раз, то «отношение» CD к АВ представляется дробью m/n; m/n выражает длину отрезка CD, если принять за единицу масштаба отрезок АВ.

Открыв существование несоизмеримых отрезков, тем самым открыли, что если желать приписывать каждому отрезку, при выбранной единице масштаба, определённое число в качестве его длины, то дробных чисел для этого недостаточно. Так появилась потребность во введении «иррациональных» чисел.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ ЧИСЛО И ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ.
Глава I РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
§1. Рациональные числа.
§2. Числовые последовательности.
§3. Операции над числовыми последовательностями.
Глава II ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
§1. Теория действительного числа (по Г. Кантору).
§2. Аксиоматическая теория действительного числа.
Глава III ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
§1. Предел последовательности.
§2. Примеры пределов последовательностей.
§3. Пределы средних арифметических и средних геометрических.
Глава IV ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ И ПРИНЦИП БОЛЬЦАНО-ВЕЙЕРШТРАССА.
§1. Числовая прямая и её свойства.
§2. Принцип Больцано-Вейерштрасса.
Глава V ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
§1. Определение сходящегося ряда. Критерий Коши.
§2. Признаки сходимости рядов.
§3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
§4.Бесконечные произведения.
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ.ФУНКЦИЯ И ПРЕДЕЛ.
Глава VI ФУНКЦИЯ.
§l. Определение функции. Область существования.
§2. Аналитическое задание функций.
§3. Геометрическое (графическое) изображение функций.
§4. Обратные функции.
Глава VII ПРЕДЕЛЫ.
§1. Предельное значение функции.
§2. Теоремы о пределах.
§3. Бесконечно малые.
Глава VIII НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ.
§1. Определение непрерывной функции.
§2.Свойства непрерывных функций.
§3. Теоремы о непрерывных функциях.
§4. Точки разрыва, не принадлежащие к области определения функции, классификация точек разрыва.
Глава IX ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ.
§1. Техника нахождения пределов.
§2. Примера на исслед0вание функций.
§3. Асимптоты и параболические ветви.
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
Глава X ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ.
§1. Задача о проведении касательной к кривой.
§2. Производная.
§3. Производная с механической точки зрения.
§4. Некоторые свойства функций, имеющих производную.
§5. Функции, не имеющие производной.
§6. Дифференциал.
Глава XI ТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
§1. Общие замечания.
§2. Дифференцирование элементарных функций.
§3. Общие правила дифференцирования.
§4. Производная сложной функции и её приложения.
§5. Сводка формул дифференцирования.
§6. Произведите и дифференциалы различных порядков.
Глава XII ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИИ И ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА.
§1. Теоремы Лагранжа и Коши.
§2. Нахождение предельных значений («раскрытие неопределенностей»).
§3. Формула Тейлора.
§4. Разложение функций по формулам Тейлора и Макпорена.
Глава XIII ИЗУЧЕНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ.
§1. Возрастание и убывание функций.
§2. Теория максимума и минимума функции.
§3. Применение теории максимума и минимума к решению задач.
§4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
§5. Кривые заданные параметрически.
§6. Асимптоты.
§7. Построение графиков функций.
РАЗДЕЛ ЧЕТВЁРТЫЙ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
Глава XIV НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
§1. Задача о разыскании примитивной.
§2. Методы интегрирования.
§3. Интегрирование рациональных функций.
§4. Интегрирование иррациональных функций.
§5. Интегрирование трансцендентных функций.
Глава XV ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
§1. Определённый интеграл и его существование.
§2. Основные свойства определённого интеграла.
§3. Теоремы о среднем значении.
§4. Определённый, интеграл с переменным верхним пределом как примитивная подинтегральной функции. Формула Ньютона—Лейбница.
§5. Приближённое вычисление определённых интегралов.
Глава XVI ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА.
§1. Длина дуги плоской кривой.
§2. Площадь плоской фигуры.
§3. Объём тела.
§4. Площадь поверхности вращения.
Глава XVII НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
§1. Интегралы с бесконечными пределами интеграции.
§2. Интегралы от неограниченных функций.


Ниже можно купить эту книгу, если она есть в продаже, и похожие книги по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить книги


Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Немыцкий :: Слудская :: Черкасов :: формула Тейлора :: интеграл