Курс математического анализа, Том 2, Немыцкий В.В., Слудская М.И., Черкасов А.Н., 1944

Курс математического анализа, Том 2, Немыцкий В.В., Слудская М.И., Черкасов А.Н., 1944.
 
Фрагмент из книги.
Непрерывность суммы степенного ряда. Вторая теорема Абеля. Так как члены степенного ряда представляют собой непрерывные функции, то на основании теоремы о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций и только что доказанной теоремы получаем следующее предложение.




Семейство измеримых множеств.
Постараемся охарактеризовать семейство множеств, измеримых по Жордану. Прежде всего не все множества на плоскости, даже ограниченные, измеримы по Жордану. Например, к числу неквадрируемых множеств принадлежит совокупность точек, имеющих рациональные координаты и содержащихся внутри некоторого квадрата.

Если вместо квадрата рассмотреть n-мерный куб (n>3) и в нем точки, координаты которых рациональны, то получим пример неизмеримого по Жордану множества. Однако, класс измеримых по Жордану множеств всё же весьма обширен. Как показывает теорема, изложенная в предыдущем параграфе, к нему в частности принадлежат все параллелепипеды как замкнутые, так и незамкнутые. Или более обще, к этому классу относятся все множества, мера границы которых равна нулю.

Далее оказывается, что всевозможные множества, составленные из измеримых по Жордану множеств, путём сложения пересечения и вычитания конечного числа их будут тоже измеримы по Жордану.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ РЯДЫ ФУНКЦИЙ.
Глава I ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ.
§1. Функциональная последовательность.
§2. Функциональный ряд.
§3. Равномерно сходящиеся последовательности и ряды.
$4. Неравномерно сходящиеся ряды.
§5. Равномерно сходящиеся последовательности и ряды непрерывных функций.
§6. Некоторые вспомогательные сведения из теории множеств.
§7. Неравномерно сходящиеся последовательности и ряды непрерывных функций.
§8. Почленное дифференцирование ряда и последовательности.
§9. Почленное интегрирование ряда.
Глава II СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ.
§1. Интервал сходимости степенного ряда.
§2. Характер сходимости степенного ряда.
§3. Операции над степенными рядами.
§4. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
§5. Ряды Тейлора и Маклорена.
§6. Функции, представимые степенными рядами.
Глава III РЯДЫ ПОЛИНОМОВ.
§1. Аппроксимация функций.
§2. Интерполирование функций.
§3. Теоремы Вейерштрасса.
§4. О полиномах, наименее уклоняющихся от нуля.
Глава IV РЯДЫ ФУРЬЕ. ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ.
§1. Понятие о ряде Фурье.
§2. Формальные операции над рядами Фурье.
§3. Однозначность определения функции при помощи коэффициентов Фурье.
§4. Неравенство Бесселя. Стремление коэффициентов Фурье к нулю.
Глава V СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ.
§1. Ряды Фурье непрерывных периодических функций.
§2. Функции с ограниченным изменением.
§3. Формула Дирихле и принцип локализации.
§4. Сходимость ряда Фурье для кусочно-дифференцируемых функций.
§5. Сходимость ряда Фурье для функции с ограниченным изменением.
§6. Пример непрерывной функции с расходящимся рядом Фурье.
§7. Ортогональные системы функций.
§8. Среднее квадратичное приближение и сходимость в среднем.
§9. Полнота и замкнутость ортогональной системы.
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Глава VI ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОБЛАСТЬ СУЩЕСТВОВАНИЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
§1.Понятие функции нескольких переменных.
§2. Пространство n измерений.
§3. Геометрическое изображение функций двух переменных.
Глава VII ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ.
§1. Предельный переход в n-мерном пространстве.
§2. Предел функции нескольких переменных.
§3. Непрерывные функции нескольких переменных.
Глава VIII ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
§1. Частные производные.
§2. Дифференцируемые функции.
§3. Производные по направлению для дифференцируемых функций. Градиент.
§4. Производная сложной функции. Формула Лагранжа для функции нескольких переменных.
§5. Однородные функции.
§6. Полный дифференциал сложной функции.
Глава IX ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА.
§4. Частные производные высших порядков.
§2. Полные дифференциалы высших порядков.
§3. Формулы Тейлора и Маклорена для функций нескольких переменных.
Глава X НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ.
§1. Определение неявной функции.
§2. Теорема существования неявной функции для случая одного уравнения.
§3. Доказательство существования неявной функции методом последовательных приближений.
§4. Неявные функции нескольких переменных.
§5. Вычисление производных неявных функций.
Глава XI ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ.
§1. Замена переменных для функции одного переменного.
§2. Замена переменных для функции нескольких переменных.
Глава XII ОТОБРАЖЕНИЕ. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ.
§1. Отображение плоской области.
§2. Теория независимости функций.
§3. Теоремы о функциональных определителях.
§4.Регулярное преобразование и его свойства.
Глава XIII ИЗУЧЕНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
§1. Геометрическая-теория поведения функций двух переменных.
§2. Экстремумы функций многих переменных.
§3. Задачи на нахождение минимума и максимума функций нескольких переменных.
§4. Условный экстремум функций нескольких переменных.
Глава XIV НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Глава XV ОПРЕДЕЛЁННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ КАК ФУНКЦИИ ОТ ПАРАМЕТРОВ.
§1. Определённые интегралы как функции от параметров.
§2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
§3. Эйлеровы интегралы.
§4. Вычисление некоторых определённых интегралов. Применение функций Г и В к вычислению некоторых интегралов.
§5. Изображение функций при помощи несобственных интегралов. Интеграл Фурье.
Глава XVI НЕОПРЕДЕЛЁННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
§1. Нахождение функций по их частным производным.
§2. Определение функции по ее полному дифференциалу.
Глава XVII ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
§1. Задачи о вычислении объёма тела.
§2. Квадрируемые области.
§3. Двойной интеграл и его существование.
§4. Основные свойства двойных интегралов.
§3. Вычисление двойного интеграла.
§6. Замена переменных в двукратном интеграле.
§7. Вычисление площади кривой поверхности.
Глава XVIII МЕРА ЖОРДАНА МНОЖЕСТВА ТОЧЕК n-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА.
§1. Определение меры множества.
§2. Достаточные условия для кубируемости множеств.
§3. Свойства меры Жордана.
Глава XIX ТЕОРИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
§1. Определение и существование кратного интеграла.
§2. Вычисление кратного интеграла.
§3. Механическое толкование тройного интеграла.
Глава XX ДВОЙНЫЕ РЯДЫ И НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
§1. Двойные ряды.
§2. Несобственные кратные интегралы.
Глава XXI КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ.
§1. Понятие криво линейно го интеграла.
§2. Криволинейные интегралы, зависящие лишь от концов пути интеграции.
§3. Формула Грина.
§4. Формула замены переменных в двойном интеграле.
§5. Интегралы по поверхности.
§6. Интегралы по замкнутой поверхности. Формула Гаусса.
§7. Формула Стокса.
Предметный указатель.


Ниже можно купить эту книгу, если она есть в продаже, и похожие книги по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить книги


Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Немыцкий :: Слудская :: Черкасов :: формула Тейлора :: интеграл