Арифметика квадратичных форм, Доценко В., 2015

Арифметика квадратичных форм, Доценко В., 2015.
     
   Какие целые числа можно представить в виде суммы двух квадратов? С исследования вопросов такого рода началась современная теория чисел. В брошюре обсуждаются некоторые классические результаты, возникающие на этом пути, от теоремы Ферма—Эйлера до теоремы Минковского—Хассе.
Брошюра написана по материалам цикла лекций на Летней школе «Современная математика» в Дубне в 2007 г. Она доступна студентам младших курсов и школьникам старших классов.




Суммы четырех квадратов.
Удивительным образом, с суммами трех квадратов дело обстоит гораздо сложнее. А именно, верна следующая теорема.

Теорема 2. Целое положительное число представимо в виде суммы трех квадратов, если и только если оно не имеет вида 4а(8b + 7).

Легко видеть, что числа вида 4а(8b + 7) действительно не представимы (это делается с помощью вычислений по модулю 8).

Все другие числа представимы, но доказать это непросто. Лежандр исходно доказывал это с помощью гипотезы, которая впоследствии стала известна как теорема Дирихле о простых в арифметических прогрессиях (в период работы Лежандра это утверждение еще не было доказано). Мы выведем это утверждение из «теоремы Минковского— Хассе» в последней лекции.

Одна из причин того, что эту теорему так трудно доказать, состоит в том, что она «не мультипликативна» (и поэтому недостаточно знать, какие простые числа представимы в виде суммы трех квадратов): например, числа 3 и 5 представимы в виде суммы трех квадратов, а их произведение—не представимо.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Введение.
Лекция 1. Суммы двух квадратов.
Лекция 2. Суммы четырех квадратов. 
Лекция 3. p-адические числа и лемма Гензеля. 
Лекция 4. Квадратичные формы над Qp. 
Необходимые предварительные сведения.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Арифметика квадратичных форм, Доценко В., 2015 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу, если она есть в продаже, и похожие книги по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить книги


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Доценко