Геометрия дискриминанта, Васильев В.А., 2017

Геометрия дискриминанта, Васильев В.А., 2017.
     
   Квадратные трёхчлены х2 + рх + q образуют двупараметрическое семейство: каждому из них соответствует точка плоскости с координатами (p, q). Дискриминантное условие р2 — 4q = 0 можно рассматривать как уравнение кривой, разделяющей точки этой плоскости, соответствующие многочленам с разным числом корней. Аналогичные (но сложнее устроенные) разделяющие множества имеются и для уравнений более высоких степеней, а также для систем уравнений. Знать их геометрию очень полезно для исследования уравнений с параметрами и для решения многих других задач.
Текст брошюры представляет собой запись лекции, прочитанной автором 14 февраля 2015 г. на Малом мехмате МГУ для школьников 9-11 классов.




Дискриминант уравнения четвертой степени, или ласточкин хвост.
Перейдем к многочленам четвертой степени. Как и в кубическом случае, при помощи сдвигов аргумента х можно избавиться от члена, следующего после старшего, и рассматривать только многочлены вида х4 + ах2 + bх + с. Каждому такому многочлену соответствует точка (а,b,с) в трехмерном пространстве. А дискриминантное множество (множество таких точек, что соответствующий многочлен имеет кратные корни) задает в этом пространстве некоторую интересную поверхность, которая называется, ласточкин хвост (рис. 4).

Я сначала постараюсь объяснить (ничего не доказывая), как эта поверхность устроена и чему соответствуют разные части, на которые оказывается разбито пространство. А потом мы обсудим, как искать уравнение дискриминантной поверхности, а также рассмотрим топологический способ доказательства того, что какие-то уравнения лежат в разных компонентах ее дополнения.

Купить .





Теги: учебник по геометрии :: геометрия :: Васильев :: дискриминант