Многомерный куб, Гальперин Г.А., 2015

Многомерный куб, Гальперин Г.А., 2015.
     
   Брошюра посвящена многомерному кубу и его свойствам. Рассказывается, как получить формулу для числа граней куба любой размерности и как распространить ее на другие правильные многогранники. Рассматриваются комбинаторные и топологические свойства многомерного куба, связанные с ним парадоксы, гипотеза Борсука; обсуждаются вопросы об объеме корки n-мерного кубического и шарового «арбуза» и электрическом сопротивлении n-мерного куба. В конце приведен список 25 задач, последние две из которых были сформулированы известнейшими математиками современности — И. М. Гельфандом и В. И. Арнольдом.
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей: школьников старших классов, студентов, учителей.




Построение гиперкуба.
Построению четырёхмерного куба предпошлём индуктивное построение кубов меньших размерностей. Начнём с n = 0, точки. Сдвинув её вдоль прямой, получим отрезок некоторой длины а — одномерный куб, n = 1. Сдвинув этот отрезок в перпендикулярном ему направлении на величину а, получим квадрат со стороной а — двумерный куб, n = 2. Наконец, сдвинув квадрат по третьему измерению, получим куб с ребром а, n = 3 (рис. 1).

Теперь остаётся действовать по аналогии — сдвинуть трёхмерный куб на величину а вдоль четвёртого измерения и получить четырёхмерный куб с ребром а (рис. 2). Физического четвёртого измерения не существует, но его можно мыслить как временное — трёхмерный куб «живёт» во времени, и если мы добавим время с как четвёртую ось к трёхмерной системе координат х, у, z, то получим четырёхмерное пространство, а в нём четырёхмерный куб.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
§1. Стратегия построения n-мерного куба. 
§2. Построение гиперкуба.
§3. Число граней четырёхмерного куба.
§4. Подсчёт числа граней разных размерностей.
§5. Арифметическая закономерность, объясняемая бесконечномерным кубом. 
§6. Тетраэдр и его многочлен.
§7. Октаэдр и его многочлен. 
§8. Сводка формул. 
§9. Замечание о теории множеств и многомерном кубе.
§10. F-многочлены многогранников. Теоремы Эйлера и Штейница о многогранниках.
§11. H-многочлены многогранников.
§12. Теорема Эйлера на языке H-многочленов и теорема Дена—Соммервиля о простых многогранниках.
§13. Графы, изоморфные многомерному кубу, и их свойства. 
§14. Тороидальные решётки как графы n-кубов. 
§15. Электрическое сопротивление n-мерного куба. 
§16. Два замечательных равенства, вытекающих из формулы электрического сопротивления n-мерного куба.
§17. Объём корки n-мерного «арбуза». 
§18. Задача принца Руперта.
§19. Парадоксы куба размерности 10 и выше. 
§20. Геометрическое доказательство неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим.
§21. Гипотеза Борсука и её опровержение для специального подмножества вершин 946-мерного куба.
§22. Задачи про n-мерный куб, n-мерный тетраэдр и n-мерный шар.
§23. Ответы, указания, решения.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Многомерный куб, Гальперин Г.А., 2015 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу, если она есть в продаже, и похожие книги по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить книги


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Гальперин :: гиперкуб :: теоремы Эйлера