Оптимизация, Теория, Примеры, Задачи, Галеев Э.М., Тихомиров В.М., 2000

Оптимизация, Теория, Примеры, Задачи, Галеев Э.М., Тихомиров В.М., 2000.
 
    Книга посвящена важнейшим проблемам оптимизации. Она построена на базе преподавания теории оптимизации на механико-математическом факультете МГУ. В основе ее лежат курсы, прочитанные в 1998/99 голах Э. М. Галеевым (Главы 1-5) и В. М. Тихомировым (Глава 6). Рассматриваются фрагменты следующих разделов теории экстремальных задач: линейного и выпуклого программирования, математического программирования, классического вариационного исчисления и оптимального управления. Приводятся как необходимые так и достаточные условия экстремума. Для изучения этих разделов в необходимом объеме даются элементы функционального и выпуклого анализа. В каждом параграфе после теоретической части приводятся примеры решения задач, предлагаются задачи для решения на семинарах, контрольных и для домашних заданий. Дается обзор общих методов теории экстремума.
Для студентов вузов по специальностям «Математика», «Прикладная математика», а также для аспирантов, преподавателей и научных работников.




Задача Дидоны.
Одними из первых задач на отыскание наибольших и наименьших величин являлись изопериметрические задачи о нахождении замкнутой кривой, имеющей заданную длину и охватывающую наибольшую площадь, и о нахождении пространственной замкнутой поверхности, имеющей заданную площадь и охватывающей наибольший объем. Еще до Аристотеля (IV век до н.э.) было известно, что среди изопериметрических (имеющих равную длину) кривых наиболее вмести мой является окружность, а среди изопифанных (имеющих равную площадь) поверхностей — сфера.

Изопериметрическая задача содержится также в легенде о царице Дидоне. Описываемые события легенда относит к 825 году до н.э.

Финикийская царица Дидона и с ней небольшая часть жителей города Тира спасаясь от преследований, покинули родной город и в поисках счастья отправились на кораблях на запад вдоль берегов Средиземного моря. Выбрав на африканском побережье удобное место (нынешний Тунисский залив), Дидона и ее спутники решили основать здесь город. Эта идея не понравилась местным жителям, но все же финикийской царице удалось уговорить их предводителя Ярба, и он простодушно и неосторожно согласился уступить Дидоне клочок земли, «который можно окружить бычьей шкурой». Хитрая финикиянка, разрезав шкуру на тонкие ремни, связала их в один длинный ремень и, окружив им значительную территорию, заложила на ней город Карфаген. В память об этой истории карфагенская цитадель получила название Бирса (шкура).

СОДЕРЖАНИЕ.
Предисловие.
ЧАСТЬ I.
Введение.
Глава 1. Экстремальные задачи.
§1. Конечномерные задачи без ограничений.
1.1. Постановка задачи.
1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума.
1.3. Правило решения.
1.4. Примеры.
1.5. Задачи, упражнения.
§2. Конечномерные гладкие задачи с равенствами.
2.1. Постановка задачи.
2.2. Необходимые и достаточные условия экстремума.
2.3. Правило решения.
2.4. Примеры.
2.5. Задача Аполлония.
2.6. Задачи.
§3. Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами.
3.1. Постановка задачи.
3.2. Необходимые и достаточные условия экстремума.
3.3. Правило решения.
3.4. Примеры.
3.5. Задачи.
§4. Выпуклые задачи.
4.1. Элементы выпуклого анализа. Субдифференциал.
4.2. Теоремы отделимости.
4.3. Задачи без ограничений.
4.4. Задачи с ограничением.
4.5. Задача выпуклого программирования.
4.6. Задачи, упражнения.
§5. Элементы функционального анализа.
5.1. Нормированные и банаховы пространства.
5.2. Определения производных.
5.3. Некоторые теоремы дифференциального исчисления в нормированных пространствах.
5.4. Дополнительные сведения из алгебры и функционального анализа.
5.5. Задачи.
§6. Гладкая задача без ограничений.
6.1. Постановка задачи.
6.2. Необходимые условия 1 порядка.
6.3. Необходимые и достаточные условия II порядка.
§7. Гладкая задача с равенствами.
7.1. Постановка задачи.
7.2. Необходимые условия I порядка.
7.3. Необходимые условия II порядка.
7.4. Достаточные условия II порядка.
§8. Гладкая задача с равенствами и неравенствами.
8.1. Постановка задачи.
8.2. Необходимые условия I порядка.
8.3. Необходимые условия II порядка.
8.4. Достаточные условия II порядка.
Ответы к задачам главы 1.
Глава 2. Линейное программирование.
§.1. Симплекс-метод.
1.1. Постановки задач. Геометрическая интерпретация.
1.2. Правило решения задач по симплекс-методу.
1.3. Примеры.
1.4. Задачи.
§2. Двойственность в линейном программировании.
2.1. Элементы выпуклого анализа. Преобразование Лежандра.
2.2. Примеры.
2.3. Вывод двойственных задач.
§3. Обоснование симплекс-метода.
3.1. Теоремы существования, двойственности, критерий решения.
3.2. Свойства множества допустимых точек.
3.3. Доказательство симплекс-метода.
§4. Методы нахождения начальной крайней точки.
4.1. Переход к решению двойственной задачи.
4.2. Метод искусственного базиса.
4.3. Примеры.
4.4. Задачи.
§5. Транспортная задача.
5.1. Постановка задачи.
5.2. Особенности задачи.
5.3. Методы нахождения начальной крайней точки.
5.4. Метод потенциалов.
5.5. Примеры транспортных задач.
5.6. Задача двойственная к транспортной задаче.
5.7. Обоснование метода потенциалов решения транспортной задачи.
5.8. Задача о назначении. Пример.
5.9. Задачи.
Ответы к задачам главы 2.
Глава 3. Вариационное исчисление.
§ 1. Простейшая задача классического вариационного исчисления.
1.1. Постановка задачи.
1.2. Вывод уравнения Эйлера с помощью основной леммы вариационного исчисления.
1.3. Вывод уравнения Эйлера с помощью леммы Дюбуа-Реймона.
1.4. Векторный случай.
1.5. Интегралы уравнения Эйлера.
1.6. Примеры.
1.7. Задачи.
§ 2. Задача Больца.
2.1. Постановка задачи.
2.2. Необходимое условие экстремума.
2.3. Многомерный случай.
2.4. Пример.
2.5. Задачи Больца.
§3. Задача с подвижными концами.
3.1. Постановка задачи.
3.2. Необходимые условия экстремума.
3.3. Пример.
3.4. Задачи с подвижными концами.
§4. Изопериметрическая задача.
4.1. Постановка задачи.
4.2. Необходимое условие экстремума.
4.3. Пример.
4.4. Задача Дидоны.
4.5. Изопериметрические задачи.
§5. Задача со старшими производными.
5.1. Постановка задачи.
5.2. Необходимое условие экстремума.
5.3. Пример.
5.4. Задачи со старшими производными.
§6. Задача Лагранжа.
6.1. Постановка задачи.
6.2. Необходимые условия экстремума.
6.3. Примеры.
6.4. Вывод уравнения Эйлера—Пуассона из теоремы Эйлера—Лагранжа.
6.5. Задачи Лагранжа.
Ответы к задачам главы 3.
Глава 4. Задачи оптимального управления.
§.1. Принцип максимума Понтрягина в общем случае.
1.1. Постановка задачи.
1.2. Формулировка теоремы.
1.3. Доказательство.
1.4. Пример.
§2. Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом.
§3. Избранные задачи оптимального управления.
3.1. Простейшая задача о быстродействии.
3.2. Аэродинамическая задача Ньютона.
3.3. Примеры задач оптимального управления.
3.4. Задачи оптимального управления.
Ответы к задачам главы 4.
Глава 5. Условия второго порядка в вариационном исчислении.
§ 1. Простейшая задача вариационного исчисления.
1.1. Сильный и слабый экстремум.
1.2. Пример слабого, но не сильного экстремума.
1.3. Условия Лежандра, Якоби, Вейерштрасса.
1.4. Необходимые и достаточные условия слабого и сильного экстремума.
1.5. Правило решения.
1.6. Примеры.
1.7. Задачи.
Ответы к задачам главы 5.
Список литературы к части I.
Часть II.
Глава 6. Общая теория экстремальных задач.
§0. Введение.
0.1. Основные темы и принципы обшей теории экстремума.
0.2. Классы экстремальных задач.
0.3. О базе теории.
§.1. Принцип Лагранжа для необходимых условий экстремума.
1.1. Формулировка принципа Лагранжа для гладко-выпуклых задач.
1.2. Доказательство принципа Лагранжа для гладко-выпуклых задач.
1.3. Следствия принципа Лагранжа.
§2. Возмущения экстремальных задач.
2.1. Возмущения в математическом программировании.
2.2. Простейшая задача классического вариационного исчисления.
§3. Расширение вариационных задач и существование решений.
3.1. Расширение вариационных задач.
3.2. Теоремы существования в задачах вариационного исчисления.
§4. Алгоритмы оптимизации.
4.1. Алгоритмы минимизации квадратичной функции.
4.2. Метод центрированных сечений и метод эллипсоидов.
§5. Приложения обшей теории к решению конкретных задач.
§6. Заключительные замечания.
Список литературы к части II.
Список обозначений.
Предметный указатель.
Сведения об авторах.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Галеев :: Тихомиров