Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров А.Н., Фомин С.В., 2004

Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров А.Н., Фомин С.В., 2004.

   Содержит строгое систематизированное изложение основ функционального анализа и тонких вопросов теории функций действительного переменного.
Основой явился курс функционального анализа (вначале «Анализ Ш»), читавшийся академиком А. Н. Колмогоровым в течение ряда лет на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова.
Для студентов университетов, аспирантов, преподавателей, а также для научных работников в области математики и в смежных областях.




Понятие множества. Операции над множествами.
Основные определения. В математике встречаются самые разнообразные множества. Можно говорить о множестве граней многогранника, точек на прямой, множестве натуральных чисел и т. д. Понятие множества настолько общее, что трудно дать ему какое-либо определение, которое не сводилось бы просто к замене слова «множество» его синонимами: совокупность, собрание элементов и т.п.

Роль, которую понятие множества играет в современной математике, определяется не только тем, что сама теория множеств стала в настоящее время весьма обширной и содержательной дисциплиной, но главным образом тем влиянием, которое теория множеств, возникшая в конце прошлого столетия, оказывала и оказывает на всю математику в целом. Не ставя своей задачей сколько-нибудь полное изложение этой теории, мы здесь лишь введем основные обозначения и приведем первоначальные теоретико-множественные понятия, используемые в дальнейшем.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие к седьмому изданию.
Предисловие к шестому изданию.
Предисловие к четвертому изданию.
Предисловие к третьему изданию.
Из предисловия ко второму изданию.
Основные обозначения.
ГЛАВА I ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.
§1. Понятие множества. Операции над множествами.
§2. Отображения. Разбиения на классы.
§3. Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества.
§4. Упорядоченные множества. Трансфинитные числа.
§5. Системы множеств.
ГЛАВА II МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.
§1. Понятие метрического пространства.
§2. Сходимость. Открытые и замкнутые множества.
§3. Полные метрические пространства.
§4. Принцип сжимающих отображений и его применения.
§5. Топологические пространства.
§6. Компактность.
§7. Компактность в метрических пространствах.
§8. Непрерывные кривые в метрических пространствах.
ГЛАВА III НОРМИРОВАННЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
§1. Линейные пространства.
§2. Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана-Банаха.
§3. Нормированные пространства.
§4. Евклидовы пространства.
§5. Топологические линейные пространства.
ГЛАВА IV ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
§1. Непрерывные линейные функционалы.
§2. Сопряженное пространство.
§3. Слабая топология и слабая сходимость.
§4. Обобщенные функции.
§5. Линейные операторы.
§6. Компактные операторы.
ГЛАВА V МЕРА, ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ, ИНТЕГРАЛ.
§1. Мера плоских множеств.
§2. Общее понятие меры. Продолжение меры с полукольца на кольцо. Аддитивность и о-аддитивность.
§3. Лебегово продолжение меры.
§4. Измеримые функции.
§5. Интеграл Лебега.
§6. Прямые произведения систем множеств и мер. Теорема Фубини.
ГЛАВА VI НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
§1. Монотонные функции. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу.
§2. Функции с ограниченным изменением.
§3. Производная неопределенного интеграла Лебега.
§4. Восстановление функции по ее производной. Абсолютно непрерывные функции.
§5. Интеграл Лебега как функция множества. Теорема Радона-Никодима.
§6. Интеграл Стилтьеса.
ГЛАВА VII ПРОСТРАНСТВА СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ.
§1. Пространство L1.
§2. Пространство L2.
§3. Ортогональные системы функций в L2. Ряды по ортогональным системам.
ГЛАВА VIII ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ.
§1. Условия сходимости ряда Фурье.
§2. Теорема Фейера.
§3. Интеграл Фурье.
§4. Преобразование Фурье, свойства и применения.
§5. Преобразование Фурье в пространстве L2(—оо, оо).
§6. Преобразование Лапласа.
§7. Преобразование Фурье Стилтьеса.
§8. Преобразование Фурье обобщенных функций.
ГЛАВА IX ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
§1. Основные определения. Некоторые задачи, приводящие к интегральным уравнениям.
§2. Интегральные уравнения Фредгольма.
§3. Интегральные уравнения, содержащие параметр. Метод Фредгольма.
ГЛАВА X ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.
§1. Дифференцирование в линейных пространствах.
§2. Теорема о неявной функции и некоторые ее применения.
§3. Экстремальные задачи.
§4. Метод Ньютона.
ДОПОЛНЕНИЕ.
БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ (В. М. ТИХОМИРОВ).
§1. Определение и примеры банаховых алгебр.
§2. Спектр и резольвента.
§3. Некоторые вспомогательные результаты.
§4. Основные теоремы.
Предметный указатель.
Список литературы.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Колмогоров :: Фомин