Интегральное исчисление функций одного переменного, Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркни Г.Н., 1999

Интегральное исчисление функций одного переменного, Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркни Г.Н., 1999.

   Книга является шестым выпуском комплекса учебников „Математика в техническом университете". Знакомит читателя с понятиями неопределенного и определенного интегралов и методами их вычисления. Уделено внимание приложениям определенного интеграла, приведены примеры и задачи физического, механического и технического содержания.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических вузов. Может быть полезен преподавателям и аспирантам.




НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
Введение понятия производной позволяет проводить исследование свойств заданной функции и решать многие прикладные задачи. Напомним, что понятие производной f(x) действительной функции f(x) одного действительного переменного х с геометрической точки зрения соответствует угловому коэффициенту касательной к графику этой функции. Если функция задает зависимость пройденного пути от времени, то производная этой функции является скоростью движения.

Но ясно, что имеет смысл и обратная задача — восстановление функции F(x) по известной зависимости ее производной F'(x) = f(x) от аргумента х. Решение задачи восстановления функции по ее производной имеет большое прикладное значение. Геометрически решение этой задачи означает построение графика функции F(x), для которой функция f(x) задает изменение углового коэффициента касательной к графику у = F(x) при изменении х. В механике поставленная задача возникает при нахождении пройденного пути s(t) по известной зависимости скорости v(t) движения от времени t. Аналогична и задача нахождения скорости v(t) по заданному изменению ускорения а(t).

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Основные обозначения.
1. Неопределенный интеграл.
1.1. Вводные замечания.
1.2. Понятия первообразной и неопределенного интеграла.
1.3. Свойства неопределенного интеграла.
1.4. Основные неопределенные интегралы.
1.5. Интегрирование подстановкой и заменой переменного.
1.6. Интегрирование по частям.
Д.1.1. Первообразная непрерывной функции.
Вопросы и задачи.
2. Интегрирование рациональных дробен.
2.1. Дробно-рациональные подынтегральные функции.
2.2. Интегралы от простейших рациональных дробей.
2.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие.
2.4. Интегрирование дробно-рациональных функций.
Д.2.1. Метод Остроградского.
Д.2.2. Интегрирование рациональных функций, содержащих биномы.
Вопросы и задачи.
3. Интегрирование иррациональных выражении.
3.1. Рациональные функции от радикалов.
3.2. Интегрирование функций, содержащих радикалы от дробно-линейной функции.
3.3. Подстановки Эйлера.
3.4. Другие приемы интегрирования.
3.5. Тригонометрические и гиперболические подстановки.
3.6. Интегралы от дифференциального бинома.
Д.3.1. Геометрический смысл подстановок Эйлера.
Д.3.2. Об интегрировании функций вида R(x, /Рn(х)).
Вопросы и задачи.
4. Интегралы от некоторых трансцендентных функций.
4.1. Рациональные функции синуса и косинуса.
4.2. Рациональные степени синуса и косинуса.
4.3. Экспоненциальные и гиперболические функции.
4.4. Различные трансцендентные выражения.
Вопросы и задачи.
5. Интеграл Ньютона.
5.1. Понятие определенного интеграла Ньютона.
5.2. Формула Ньютона — Лейбница.
5.3. Свойства интеграла Ньютона.
5.4. Теорема о среднем значении и ее следствия.
5.5. Интеграл Ньютона с переменными пределами.
5.6. Геометрическая и механическая интерпретации интеграла Ньютона.
5.7. Способы вычисления интеграла Ньютона.
Вопросы и задачи.
6. Определенный интеграл.
6.1. Интегральная сумма и ее предел.
6.2. Интеграл Римана.
6.3. Суммы и интегралы Дарбу.
6.4. Критерий существования определенного интеграла.
6.5. Классы интегрируемых функций.
6.6. Свойства интегрируемых функций.
6.7. Основные свойства определенного интеграла.
6.8. Теоремы о среднем значении для определенного интеграла.
6.9. Определенный интеграл с переменным пределом.
6.10. Вычисление определенного интеграла.
Д.6.1. Доказательство теорем о классах интегрируемых функций.
Д.6.2. Доказательство теорем 6.19 и 6.20.
Д.6.3. Связь интегралов Ньютона и Римана.
Д.6.4. Обобщение теорем о среднем значении.
Вопросы и задачи.
7. Несобственные интегралы.
7.1. Интегралы по бесконечному промежутку.
7.2. Основные свойства сходящихся несобственных интегралов по бесконечному промежутку.
7.3. Признаки сходимости интегралов по бесконечному промежутку.
7.4. Интегралы от неограниченных функций.
7.5. Сходимость интегралов от неограниченных функций.
7.6. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
7.7. Другие признаки сходимости несобственных интегралов.
7.8. Примеры исследования несобственных интегралов на сходимость.
7.9. Преобразование несобственных интегралов.
7.10. Главные значения несобственных интегралов.  Вопросы и задачи.
8. Интегралы, зависящие от параметра.
8.1. Определенные интегралы, зависящие от параметра.
8.2. Дифференцирование интегралов по параметру.
8.3. Интегрирование по параметру.
8.4. Равномерная сходимость несобственных интегралов.
8.5. Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов.
8.6. Непрерывность и дифференцируемость несобственных интегралов по параметру.
8.7. Интегрирование несобственных интегралов по параметру.
8.8. Эйлеровы интегралы.
Вопросы и задачи.
9. Приложения определенного интеграла.
9.1. Общая схема применения интеграла.
9.2. Длина кривой.
9.3. Площадь плоской фигуры.
9.4. Объем тела.
9.5. Площадь поверхности.
9.6. Вычисление масс и моментов инерции.
9.7. Статические моменты и координаты центра масс.
9.8. Работа, энергия, сила давления.
Д.9.1. Движение материальной точки в центральном поле тяготения.
Вопросы и задачи.
10. Численное интегрирование.
10.1. Существо подхода к численному интегрированию.
10.2. Формула трапеций.
10.3. Формула парабол.
10.4. Формулы прямоугольников.
10.5. Приближение многочленами высших степеней.
10.6. Квадратурная формула Гаусса.
10.7. Практическая оценка погрешности численного интегрирования.
10.8. Учет особенностей поведения подынтегральной функции.
10.9. Приближенное вычисление несобственных интегралов.
10.10. Особенности вычисления неопределенных интегралов Вопросы и задачи.
Приложение. Таблица неопределенных интегралов.
Интегралы от алгебраических функций.
Интегралы от трансцендентных функций.
Список рекомендуемой литературы
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Зарубин :: Иванова :: Кувыркни