Дифференциальное исчисление функций многих переменных, Канатников А.Н., Крищенко А.П., Четвериков В.Н., 2000

Дифференциальное исчисление функций многих переменных, Канатников А.Н., Крищенко А.П., Четвериков В.Н., 2000.

   В пятом выпуске подробно рассмотрены основополагающие понятия предела и непрерывности функций многих переменных, свойства дифференцируемых функций, вопросы поиска абсолютного и условного экстремумов функций многих переменных. Отражена связь дифференциального исчисления функций многих переменных с дифференциальной геометрией. Рассмотрены методы решения систем нелинейных уравнений.
Теоретический материал изложен с применением методов линейной и матричной алгебры и иллюстрирован разбором примеров и задач. В конце каждой главы приведены вопросы и задачи для самостоятельного решения.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам.




ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ.
Одним из приложений теории функций двух переменных является геометрия поверхностей в пространстве. Каждую поверхность локально, в окрестности фиксированной точки. можно рассматривать как график функции двух переменных. но такая интерпретация оказывается неудобной из-за сложности и бессистемности получающихся формул. Более продуктивен групповой подход, впервые четко сформулированный К.Ф. Клейном. Главную роль в этом подходе играют группы преобразований пространства, сохраняющие исследуемые свойства объектов. Если некоторое свойство объекта сохраняется при преобразованиях из данной группы преобразований, то это свойство называют инвариантным, или инвариантом. Именно инвариантные свойства используют для описания исследуемых объектов. При этом стараются выделить такой минимальный набор инвариантных свойств, который определяет объект однозначно.

В случае поверхностей в пространстве такую группу преобразований образуют движения пространства, т.е. такие его преобразования, при которых сохраняются расстояния между точками. Можно показать, что любое движение пространства — это либо поворот, либо преобразование симметрии относительно плоскости, либо параллельный перенос, либо Композиция указанных преобразований. Таким образом, мы не различаем поверхность S и поверхность S1 полученную из S поворотом, симметрией или параллельным переносом.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Введение.
1. Функции многих переменных как отображения.
1.1. Открытые и замкнутые множества.
1.2. Функции многих переменных.
1.3. Предел функции многих переменных.
1.4. Непрерывность функции многих переменных.
1.5. Линии и поверхности разрыва.
1.6. Непрерывность по части переменных.
1.7. Свойства функций многих переменных, непрерывных на компактах.
Вопросы и задачи.
2. Дифференцируемые функции многих переменных.
2.1. Частные производные.
2.2. Геометрическая интерпретация частных производных.
2.3. Дифференцируемость функций многих переменных.
2.4. Необходимые условия дифференцируемости.
2.5. Достаточное условие дифференцируемости.
2.6. Дифференцируемость сложной функции.
2.7. Дифференциал функции многих переменных.
Вопросы и задачи.
3. Производные и дифференциалы высших порядков.
3.1. Частные производные второго порядка.
3.2. Частные производные высших порядков.
3.3. Дифференциалы высших порядков.
3.4. Формула Тейлора.
3.5. Дифференциалы в приближенных вычислениях.
Вопросы и задачи.
4. Неявные функции.
4.1. Случай уравнения с двумя неизвестными.
4.2. Общий случай.
4.3. Обратная функция.
Вопросы и задачи.
5. Геометрические приложения.
5.1. Производная по направлению.
5.2. Градиент.
5.3. Касательная плоскость и нормаль.
5.4. Касательная и нормаль кривой на плоскости.
Вопросы и задачи.
6. Экстремум функции многих переменных.
6.1. Необходимое условие экстремума.
6.2. Достаточное условие экстремума.
6.3. Достаточные условия экстремума функции двух переменных.
6.4. Исследование Функций на экстремум.
Вопросы и задачи.
7. Условный экстремум.
7.1. Общая постановка задачи.
7.2. Необходимое условие условного экстремума.
7.3. Достаточные условия условного экстремума.
7.4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений.
Вопросы и задачи.
8. Геометрия поверхностей.
8.1. Гладкая поверхность.
8.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
8.3. Первая квадратичная форма поверхности.
8.4. Вторая квадратичная форма поверхности.
8.5. Классификация точек поверхности.
8.6. Нормальная кривизна поверхности.
8.7. Главные направления и главные кривизны поверхности.
Д.8.1. Внутренняя и внешняя геометрии поверхности.
Вопросы и задачи.
9. Численные методы решения систем нелинейных уравнений.
9.1. Итерационные методы решения.
9.2. Метод Ньютона.
9.3. Проблема глобальной сходимости.
Вопросы и задачи.
10. Интерполирование функций многих переменных.
10.1. Интерполяционные сплайны первой степени.
10.2. Билинейные интерполяционные сплайны.
10.3. Кубические сплайны одного переменного.
10.4. Бикубические сплайны двух переменных.
10.5. Приближение кривых и поверхностей.
Вопросы и задачи.
11. Дифференциальное исчисление на многообразиях.
11.1. Определение гладкого многообразия.
11.2. Примеры многообразий.
11.3. Гладкие отображения многообразий.
11.4. Касательные векторы.
11.5. Касательное расслоение и дифференциал.
11.6. Векторные поля на многообразиях.
11.7. Фазовый поток векторного поля.
11.8. Алгебра Ли векторных полей.
11.9. Распределения и теорема Фробениуса.
Д.11.1. Системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Д.11.2. Некоторые приложения теории векторных полей и распределений.
Вопросы и задачи.
Список рекомендуемой литературы.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Канатников :: Крищенко :: Четвериков