Дополнительные главы математического анализа, Макаров И.П., 1968

Дополнительные главы математического анализа, Макаров И.П., 1968.

   В данном пособии излагаются современная теория множеств и на ее основе теория функций действительного переменного, теория функций комплексного переменного и основы функционального анализа.




Понятие мощности. Кардинальные числа.
Пусть дано произвольное множество А. Рассмотрим наряду с множеством А совокупность всех множеств, эквивалентных множеству А.

На основании свойства транзитивности (§ 5) все эти множества будут эквивалентны между собой.
Назовем такую совокупность множеств классом эквивалентных между собой множеств. В дальнейшем (см. § 8) будет показано, что существует бесконечное количество различных классов эквивалентных между собой множеств. На основании свойства транзитивности легко показать, что никакие два множества, входящие в различные классы, не могут быть эквивалентны между собой.

Поставим в соответствие каждому классу эквивалентных между собой множеств некоторый символ а, который будем называть кардинальным числом или мощностью.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО.
Глава I. Общая теория множеств.
§1. Понятие множества.
§2. Конечные и бесконечные множества.
§3. Подмножества, включение.
§4. Теоретико-множественные операции.
§5. Эквивалентность множеств.
§6. Понятие мощности. Кардинальные числа.
§7. Сравнение мощностей.
§8. Существование сколь угодно высоких мощностей.
§9. Счетные множества.
Упражнения к главе I.
Глава II. Теория точечных множеств.
§1. Множества рациональных чисел.
§2. Множество действительных чисел.
§3. Множество мощности континуума.
§4. Множества пространства Еп.
§5. Предельные точки.
§6. Замкнутые и открытые множества.
§7. Строение линейных открытых и замкнутых множеств.
§8. Множество Кантора и его свойства.
§9. Мощность совершенного множества.
§10. Точки конденсации. Мощность несчетного замкнутого множества.
Упражнения к главе II.
Глава III. Функции.
§1. Общее понятие функции.
§2. Верхняя и нижняя грани функции. Колебание.
§3. Непрерывность.
§4. Основные свойства непрерывных функций.
§5. Точки разрыва.
§6. Точки разрыва монотонной функции.
§7. Функции с ограниченным изменением.
Упражнения к главе III.
Глава IV. Непрерывные кривые.
§1. Понятие непрерывной кривой.
§2. Кривые Жордана.
§3. Кривые Пеано.
§4. Кривые Кантора и Урысона.
§5. Спрямляемые кривые.
Упражнения к главе IV.
Глава V. Мера.
§1. Мера Жордана для линейных множеств.
§2. Мера Жордана для множества Еn. Квадрируемые и кубируемые множества.
§. 3.  Мера Лебега для линейных множеств.
§4. Свойства множеств, измеримых по Лебегу.
§5. Измеримые функции.
Упражнения к главе V.
Глава VI. Интеграл.
§1. Интеграл Римана.
§2. Теорема Лебега.
§3. Интеграл Стилтьеса.
§4. Интеграл Лебега.
Упражнения к главе VI.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА.
Глава VII. Метрические пространства.
§I. Основные понятия.
§2. Примеры метрических пространств.
§3. Полнота метрических пространств.
§4. Теорема о замкнутых шарах.
§5. Метод сжатых отображений.
§6. Применение метода сжатых отображений в теории дифференциальных и интегральных уравнений.
§7. Применение метода сжатых отображений в алгебре.
§8. Применение метода сжатых отображений в математическом анализе.
Упражнения к главе VII.
Глава VIII. Сепарабельность и компактность.
§1. Сепарабельность пространств Епn, С и lр.
§2. Сепарабельность пространства Lp.
§3. Пространство т как пример несепарабельного пространства.
§4. Компактность множеств пространства Еn.
§5. Общий критерий компактности.
§6. Компактность множеств в пространстве С.
§7. Компактность множеств в пространстве lр.
§8. Компактность множеств в пространстве Lp.
Глава IX. Непрерывные функционалы и операторы.
§1. Непрерывные функционалы.
§2. Общие свойства непрерывных функционалов.
§3. Равномерная непрерывность функционала.
§4. Непрерывные операторы.
§5. Свойства непрерывных операторов.
Упражнения к главе IX.
Глава X. Линейные функционалы, линейные операторы.
§1. Линейные пространства.
§2. Линейные функционалы.
§3. Свойства линейных функционалов.
§4. Слабая сходимость линейных функционалов.
§5. Линейные операторы.
§6. Свойства линейных операторов.
Упражнения к главе X.
Глава XI. Применения функционального анализа в вариационном исчислении.
§1. Дифференциал, вариация линейного функционала.
§2. Экстремум дифференцируемого функционала.
§3. Уравнение Эйлера.
§4. Решение задачи о брахистохроне.
§5. Задача о наименьшей поверхности вращения.
§6. О других применениях функционального анализа в вариационном исчислении.
Упражнения к главе XI.
Глава XII. Применения функционального анализа в теории интегральных уравнений.
§1. Вопрос о существовании решения интегрального уравнения.
§2. Вполне непрерывные операторы.
§3. Теорема В. В. Немыцкого.
§4. Линейные интегральные уравнения.
§5. Собственные значения, спектр.
§6. Метод последовательных приближений, построение резольвенты.
Упражнения к главе XII.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.
Глава ХIII. Гармонические функции.
§1. Основные определения.
§2. Свойства гармонических функций и гармонических пар.
§3. Теорема Дзядыка.
§4. Понятие конформного отображения.
§5. Конформность отображения гармонической парой.
§6. Коэффициент растяжения.
Упражнения к главе XIII.
Глава XIV. Комплексные числа, последовательности, ряды.
§I. Комплексное число как оператор.
§2. Плоскость Гаусса.
§3. Тригонометрические и алгебраические формы комплексного числа.
§4. Действия над комплексными числами.
§5. Числовые последовательности и ряды.
§6. Признак Коши — Адамара.
§7. Степенные ряды.
Упражнения к главе XIV.
Глава XV. Функции комплексного переменного, аналитические функции.
§1. Непрерывность функции комплексного переменного.
§2. Дифференцируемость функции комплексного переменного.
§3. Определение и свойства аналитической функции.
§4. Конформность отображения аналитической функции.
Упражнения к главе XV.
Глава XVI. Элементарные аналитические функции, конформные отображения.
§1. Линейная функция.
§2. Бесконечно удаленная точка.
§3. Функция f(z)=1/z.
§4. Дробно-линейная функция.
§5. Степенная функция. Поверхность Римана.
§6. Показательная функция.
§7. Тригонометрические функции.
§8. Гиперболические функции.
§9. Логарифмическая функция.
Упражнения к главе XVI.
Глава XVII. Интеграл. Ряд Тейлора.
§1. Интеграл.
§2. Существование и вычисление интеграла. Свойства интеграла.
§3. Теорема Коши.
§4. Интегральная формула Коши.
§5. Разложение аналитической функции в степенной ряд.
§6. Ряд Тейлора.
§7. Теорема единственности для аналитических функций.
§8. Понятие об аналитическом продолжении.
§9. Определение класса аналитических функций.
Упражнения к главе XVII.
Глава XVIII. О применениях теории функций комплексного переменного.
§1. О применениях в математическом анализе.
§2. О применениях в алгебре.
§3. О применениях в картографии.
§4. О применениях в гидро- и аэромеханике.
§5. Функция Н. Е. Жуковского.
§6. Критерий Рауса — Гурвица.
Упражнения к главе XVIII.
Дополнительная литература.
Алфавитный указатель.
Указатель специальных знаков.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Макаров