Ряды, Виленкин Н.Я., Цукерман В.В., Доброхотова М.А., Сафонов А.Н., 1982

Ряды, Виленкин Н.Я., Цукерман В.В., Доброхотова М.А., Сафонов А.Н., 1982.

   Предлагаемая вниманию читателя книга является учебным пособием для студентов-заочников физико-математических факультетов пединститутов по разделам «Ряды» и «Ряды Фурье» программы курса «Математический анализ». Мы не сочли целесообразным, в отличие от действующей сейчас программы, отрывать изучение рядов Фурье от изучения функциональных рядов. Кроме того, мы считали полезным до изучения общей теории числовых и функциональных рядов получить разложение в степенные ряды основных элементарных функций — это позволяет студентам заранее приобрести общую ориентировку в вопросах, с которыми им предстоит познакомиться.




СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ.
Разложение функций в степенные ряды уже рассматривалось в главе I. Мы видели, что для этой цели удобно использовать почленное интегрирование и дифференцирование. В этой главе, специально посвященной степенным рядам, будет выяснено, при каких условиях допустимы эти операции. Исследование степенных рядов целесообразно вести сразу в комплексной области, поскольку почти все утверждения, касающиеся степенных рядов в действительной области, являются частными случаями получаемых общих утверждений. Сначала исследуем вопрос об области сходимости степенных рядов.

Оглавление.
Предисловие.
Введение.
Глава I. Основные понятия, формула и ряд Тейлора.
§1. Числовые ряды. Сходимость и расходимость числового ряда.
1. Числовые ряды.
2. Сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды.
§2. Свойства сходящихся рядов.
1. Необходимый признак сходимости ряда. Остаток ряда.
2. Свойства сходящихся рядов.
§3. Функциональные ряды и их область сходимости.
1. Степенные ряды.
2. Тригонометрические ряды.
§4. Формула Тейлора.
§5. Разложение функций в ряд Тейлора.
1. Ряд Тейлора.
2. Разложение функции у = 1g (1 + х).
3. Разложение функции у = arctg х.
4. Разложение в степенной ряд функции у = ех.
5. Разложение в степенной ряд функций у = sin х, у = cos х.
6. Разложение функции у = (1+х)a, где |х| < 1 и а — любое число.
7. Разложение других элементарных функций.
Глава II. Числовые ряды.
§.6. Признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.
1. Признаки сравнения.
2. Признаки сходимости Даламбера и Коши.
3. Интегральный признак сходимости Коши.
4. Примеры исследования рядов на сходимость.
§7. Свойства рядов с неотрицательными членами.
1. Перестановка членов ряда с неотрицательными членами.
2. Группировка членов и умножение рядов с неотрицательными членами.
§8. Знакопеременные ряды.
1. Теорема Лейбница.
2. Абсолютно сходящиеся ряд.
3. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
4. Свойства условно сходящихся рядов.
§9. Числовые ряды в комплексной области.
Глава III. Функциональные ряды.
§10.Область сходимости функциональных рядов.
§11. Равномерная сходимость функциональных рядов.
1. Введение.
2. Чебышевское расстояние между функциями.
3. Равномерно сходящиеся функциональные последовательности.
4. Равномерно сходящиеся ряды. Признак Вейерштрасса.
5. Сохранение свойства непрерывности в случае равномерной сходимости.
§12. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.
1. Почленное интегрирование функциональных рядов.
2. Почленное дифференцирование функциональных рядов.
§13. Функции комплексного переменного. Функциональные последовательности и ряды в комплексной области.
1. Функции комплексного переменного.
2. Дифференцирование функций комплексного переменного.
3. Функциональные последовательности и ряды в комплексной области.
Глава IV. Степенные ряды.
§14. Круг сходимости степенного ряда.
1. Теорема Абеля.
2. Область сходимости степенного ряда. Круг и радиус сходимости
3. Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда
§15. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенных рядов.
1. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов в действительной области.
2. Почленное дифференцирование рядов в комплексной области.
3. Единственность разложения функции в степенной ряд.
§16. Показательная и тригонометрические функции в комплексной области.
1. Показательная функция в комплексной области.
2. Тригонометрические функции в комплексной области. Формулы Эйлера.
§17. Некоторые приложения рядов.
1. Вычисление значений функций и интегралов.
2. Вычисление пределов.
3. Метод последовательных приближений.
Глава V. Ряды Фурье.
§18. Ортонормированные системы функций.
1. Введение.
2. Скалярное произведение функций.
3. Ортонормированные системы функций.
§19. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье.
1. Коэффициенты Фурье.
2. Коэффициенты Фурье для тригонометрических систем функций.
§20. Лемма Римана.
1. Кусочно гладкие функции.
2. Лемма Римана.
§21. Достаточные условия сходимости рядов Фурье.
1. Формула для частичных сумм ряда Фурье.
2. Сходимость разложения кусочно гладких функций в ряды Фурье.
3. Разложение функций, заданных на конечных промежутках, в ряд Фурье.
4. Разложение четных и нечетных функций в ряды Фурье.
5. Примеры разложения функций в ряды Фурье.
Ответы к упражнениям.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Виленкин :: Цукерман :: Доброхотова :: Сафонов