Дифференциальные уравнения, Виленкин Н.Я., Доброхотова М.А., Сафонов А.Н., 1984

Дифференциальные уравнения, Виленкин Н.Я., Доброхотова М.А., Сафонов А.Н., 1984.

   Основное внимание в пособии уделяется развитию у студентов навыков решать физические и геометрические задачи с помощью дифференциальных уравнений. Структура пособия обеспечивает самостоятельную работу студентов по изучению данного курса. Теоретический материал иллюстрируется многочисленными подробно решенными примерами.

   Предлагаемая вниманию читателя книга является учебным пособием для студентов-заочников физико-математических факультетов пединститутов по разделу «Дифференциальные уравнения» курса «Математический анализ». Она входит в серию пособий по математическому анализу, выходящую под общей редакцией профессора Н. Я. Виленкина (в настоящее время в этой серии вышли книги: «Введение в анализ» (1983 г.), «Дифференциальное исчисление» (1984 г.), «Интегральное исчисление» (1979 г.), «Ряды» (1982 г.), «Мощность, метрика, интеграл» (1980 г.), «Элементы функционального анализа в задачах» (1978 г.), и готовится к печати пособие «Теория аналитических функций»). Книга написана в соответствии с действующей программой, причем в конце включен небольшой раздел, посвященный уравнениям в частных производных, который предусматривается проектом новой программы курса математического анализа.
Книга состоит из введения и трех глав. Первая глава посвящена дифференциальным уравнениям первого порядка, решаемым в квадратурах, и методам понижения порядка для дифференциальных уравнений высшего порядка. При этом мы предпочли начать не с общего класса уравнений в полных дифференциалах, а с метода разделения переменных как более наглядного и требующего меньшего числа предварительных сведений.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
Введение
Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка и ' понижение порядка уравнений высшего порядка
§ 1. Интегрирование некоторых видов дифференциальных уравнений первого порядка
1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
2. Линейные уравнения первого порядка
3. Однородные уравнения
4. Уравнения в полных дифференциалах
5. Определение типа дифференциального уравнения.
Вопросы для самопроверки
Упражнения
§ 2. Решение физических и геометрических задач с помощью дифференциальных уравнений
1. Математическое моделирование
2. Составление дифференциального уравнения по условию физической задачи
3. Решение геометрических задач с помощью дифференциальных уравнений
4. Дифференциальное уравнение семейства кривых. Ортогональные траектории
5. Решение задач с помощью интегральных уравнений
Упражнения
§ 3. Решение некоторых видов дифференциальных уравнений высшего порядка
1. Понижение порядка дифференциального уравнения
2. Системы дифференциальных уравнений
Вопросы для самопроверки
Упражнения
Глава II. Теоремы существования и единственности решений дифференциальных уравнений
§ 1. Геометрический смысл дифференциальных уравнений первого порядка и систем таких уравнений
1. Поле направлений
2. Поле направлений и дифференциальные уравнения
3. Особые точки
Вопросы для самопроверки
Упражнения
§ 2. Теоремы существования и единственности
1. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения у' = f (х, у)
2. Теорема существования и единственности решений дифференциальных уравнений высшего порядка
3. Дифференциальные уравнения и степенные ряды.
4. Приближенное решение дифференциальных уравнений
Вопросы для самопроверки
Упражнения
§ 3. Общее, частное и особое решения дифференциального уравнения
1. Общее и частное решения дифференциального уравнения
2. Особые точки и особые решения дифференциального уравнения у' = f (х, у)
3. Огибающая семейства плоских кривых
4. Уравнение Клеро
Вопросы для самопроверки
Упражнения
Глава III. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка
§ 1. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка с переменными коэффициентами
1. Линеаризация уравнений и систем уравнений
2. Теорема существования и единственности решения линейных дифференциальных уравнений высшего порядка и систем линейных дифференциальных уравнений
3. Линейные дифференциальные операторы и их свойства
4. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения
5. Определитель Вронского
6. Составление уравнения по фундаментальной системе решений
7. Формула Остроградского
8. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка
9. Метод вариации произвольных постоянных
Вопросы для самопроверки
Упражнения
§ 2. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами
1. Алгебра дифференциальных операторов. Характеристический многочлен
2. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
3. Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (специальный случай)
4. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (случай резонанса)
5. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (специальные случаи, окончание)
Вопросы для самопроверки
Упражнения
§ 3. Свободные и вынужденные колебания. Резонанс
1. Колебания под действием упругой силы пружины
Вопросы для самопроверки
Упражнения
§ 4. Некоторые уравнения математической физики
1. Введение
2. Вывод уравнения колебаний струны
3. Решение уравнения колебаний струны методом Даламбера
Ответы

Купить книгу Дифференциальные уравнения, Виленкин Н.Я., Доброхотова М.А., Сафонов А.Н., 1984 .

Купить книгу Дифференциальные уравнения, Виленкин Н.Я., Доброхотова М.А., Сафонов А.Н., 1984 .





Теги: учебник по математике :: математика :: Виленкин :: Доброхотова :: Сафонов