Введение в теорию гладких многообразий, Натанзон С.М., 2020

Введение в теорию гладких многообразий, Натанзон С.М., 2020.
 
   Книга содержит краткий курс теории гладких многообразий (включая теоремы Уитни и Стокса), векторных расслоений, когомологий де Рама и римановой геометрии. Приведены многочисленные упражнения и примеры.
Книга является записью лекций, которые автор читал для студентов второго курса Независимого московского университета и факультета математики Высшей школы экономики.




Гладкие многообразия.
Анализ, который вы изучали на 1-м курсе, позволяет исследовать подмножества М€Rn. Все точки множества М наделяются координатами из Rn, и это позволяет отождествлять функции на множестве М с функциями от п переменных f(х1, ..., хn). В реальной жизни, однако, интересующие нас множества не имеют естественных координат и эти координаты приходится вводить дополнительно. Более того, эти координаты можно вводить по-разному.

Например, для описания и исследования Московской области ее удобно покрыть мысленной сеткой параллелей и меридианов, расстояния между которыми измеряются в километрах. Но можно, конечно, как это делалось раньше, покрыть область сеткой, где расстояние измеряется в верстах. Можно вообще, если это покажется удобным, повернуть сетку на какой-то угол. Для согласования различных систем координат нужно использовать функции перехода, пересчитывающие одну систему координат в другую.

Оглавление.
§1. Введение.
§2. Категория гладких многообразий.
2.1. Гладкие многообразия.
2.2. Морфизмы и изоморфизмы.
2.3. Задание многообразий уравнениями.
§3. Касательное пространство.
3.1. Касательные векторы.
3.2. Операторы дифференцирования в точке.
3.3. Координатное описание касательных векторов.
3.4. Дифференциал отображения.
§4. Гладкие отображения.
4.1. Регулярные точки отображения.
4.2. Теорема Сарда о критических значениях.
4.3. Теорема Уитни о вложении многообразий.
§5. Векторные расслоения.
5.1. Определения и примеры.
5.2. Сечения расслоений.
5.3. Сопряжение и тензорное произведение расслоений.
5.4. Внешние степени расслоений.
§6. Тензорные поля и дифференциальные формы.
6.1. Тензорные расслоения и тензоры.
6.2. Дифференциальные формы в локальной карте.
6.3. Инвариантность оператора дифференцирования.
6.4. Интегрирование дифференциальных форм.
§7. Формула Стокса.
7.1. Многообразия с краем.
7.2. Общая формула Стокса.
7.3. Частные случаи формулы Стокса: формулы Грина, Гаусса—Остроградского и классическая формула Стокса.
§8. Когомологии де Рама.
8.1. Определение когомологий де Рама.
8.2. Гладкие отображения и когомологии.
8.3. Гомотопическая инвариантность когомологий де Рама
8.4. Точные последовательности.
8.5. Когомологическая последовательность Майера—Вьето-риса.
8.6. Двойственность Пуанкаре.
§9. Риманова геометрия.
9.1. Риманова метрика.
9.2. Алгебра векторных полей.
9.3. Аффинная связность.
9.4. Аффинная связность, согласованная с римановой метрикой.
9.5. Параллельный перенос и геодезические.
9.6. Риманов тензор кривизны.
Литература.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Натанзон