Вычислительная математика в примерах и задачах, Копченова Н.В., Марон И.А., 2017

Вычислительная математика в примерах и задачах, Копченова Н.В., Марон И.А., 2017.

   Учебное пособие представляет собой руководство к решению задач по вычислительной математике.
В книге содержатся сведения о правилах приближенных вычислений, вычислении значений функций, приближенном решении систем линейных и нелинейных уравнений, интерполировании, приближенном дифференцировании и интегрировании, приближенном решении дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными), приближенном решении интегральных уравнений.
Все параграфы содержат краткие теоретические сведения, подробное решение типовых примеров и задачи для самостоятельного решения. Для большинства таких задач приведены ответы.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки, входящих в УГС: «Математика и механика», «Физика и астрономия», «Физико-технические науки и технологии», и другим физико-математическим, экономическим и инженерно-техническим направлениям подготовки и специальностям. Может быть полезна также научным работникам в области технических и экономических наук.




ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ.
При вычислении с помощью счетных машин значений функций, заданных формулами, далеко не безразлично, в каком виде записана соответствующая формула. Математически эквивалентные выражения часто оказываются неравноценными с точки зрения практики вычислений. Дело в том, что основными операциями большинства вычислительных машин являются сложение, вычитание, умножение и деление. Поэтому возникает необходимость представить рассматриваемую математическую задачу в виде последовательности этих элементарных операций. Учитывая ограниченность объема памяти машины и необходимость экономии машинного времени, желательно эти операции разбить на повторяющиеся циклы и выбрать соответствующий алгоритм. Ниже мы рассмотрим приемы, сводящие вычисление некоторых функций к таким циклам из элементарных операций.

Оглавление.
Предисловие.
ГЛАВА I ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ И ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИЯХ.
§1. Приближенные числа, их абсолютные и относительные погрешности.
§2. Сложение и вычитание приближенных чисел.
§3. Умножение и деление приближенных чисел.
§4. Погрешности вычисления значений функции.
§5. Определение допустимой погрешности аргументов по допустимой погрешности функции.
ГЛАВА II ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ.
§1. Вычисление значений многочлена. Схема Горнера.
§2. Вычисление значений некоторых трансцендентных функций с помощью степенных рядов.
§3. Некоторые многочленные приближения.
§4. Применение цепных дробей для вычисления значений трансцендентных функций.
§5. Применение метода итераций для приближенного вычисления значений функций.
ГЛАВА III ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.
§1. Основные понятия.
§2. Метод Гаусса.
§3. Компактная схема Гаусса. Модификация Краута—Дулитла.
§4. Схема Гаусса с выбором главного элемента.
§5. Схема Халецкого.
§6. Метод квадратных корней.
§7. Вычисление определителей.
§8. Вычисление элементов обратной матрицы методом Гаусса.
§9. Метод простой итерации.
§10. Метод Зейделя.
§11. Применение метода итераций для уточнения элементов обратной матрицы.
ГЛАВА IV ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
§1. Метод Ньютона для системы двух уравнении.
§2. Метод простой итерации для системы двух уравнений.
§3. Распространение метода Ньютона на системы n уравнений с n неизвестными.
§4. Распространение метода итераций на системы n уравнений с n неизвестными.
ГЛАВА V ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ.
§1. Постановка задачи интерполирования.
§2. Интерполирование для случая равноотстоящих узлов. Первая и вторая интерполяционные формулы Ньютона.
§3. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя.
§4. Интерполяционная формула Лагранжа. Схема Эйткена.
§5. Обратное интерполирование.
§6. Нахождение корней уравнения методом обратного интерполирования.
ГЛАВА VI ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ.
§1. Формулы численного дифференцирования.
§2. Погрешности, возникающие при численном дифференцировании.
§3. Выбор оптимального шага численного дифференцирования.
ГЛАВА VII ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ.
§1. Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами.
§2. Выбор шага интегрирования.
§3. Квадратурные формулы Гаусса.
§4. Интегрирование с помощью степенных рядов.
§5. Интегралы от разрывных функций. Метод Канторовича выделении особенностей.
§6. Интегралы с бесконечными пределами.
§7. Кратные интегралы. Метод постового интегрирования, метод Люстерника и Диткина, метод Монте-Карло.
ГЛАВА VIII ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
§1. Задача Коши. Общие замечания.
§2. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.
§3. Метод последовательных приближений.
§4. Метод Эйлера.
§5. Модификации метода Эйлера.
§6. Метод Эйлера с последующей итерационной обработкой.
§7. Метод Рунге — Кутта.
§8. Метод Адамса.
§9. Метод Милна.
§10. Метод Крылова отыскания «начального отрезка».
ГЛАВА IX КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
§1. Постановка задачи.
§2. Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
§3. Метод прогонки.
§4. Метод конечных разностей для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка.
§5. Метод Галеркина.
§6. Метод коллокации.
ГЛАВА X ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
§1. Метод сеток.
§2. Метод сеток для задачи Дирихле.
§3. Итерационный метод решения системы конечно-разностных уравнений.
§4. Решение краевых задач для криволинейных областей.
§5. Метод сеток для уравнения параболического типа.
§6. Метод прогонки для уравнения теплопроводности.
§7. Метод сеток для уравнения гиперболического типа.
§8. Решение уравнений Фредгольма методом конечных сумм.
§9. Решение уравнения Вольтерра второго рода методом конечных сумм.
§10. Метод замены ядра па вырожденное.
Приложения.
Ответы.
Литература.
Распределение литературы по главам.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Копченова :: Марон