Избранные задачи теории динамических систем, Ильяшенко Ю.С., 2011

Избранные задачи теории динамических систем, Ильяшенко Ю.С., 2011.

   Теория динамических систем делится на две части: многомерные системы (царство хаоса) и маломерные (царство порядка). К первой, более обширной области относятся эпиморфизмы в любой размерности, диффеоморфизмы в размерности 2 и потоки в размерности три и выше. Ко второй относятся диффеоморфизмы окружности и векторные поля на плоскости, вещественной и комплексной. Предлагаемая книга посвящена обеим темам.
В теории многомерных систем она посвящена отысканию новых локально типичных свойств динамических систем, и прежде всего исследованию аттракторов. Во второй части нас интересуют полиномиальные векторные поля на вещественной и комплексной плоскости. Принятый в этой книге подход основан на связи между случайными и детерминированными динамическими системами.
Книга может служить введением в предмет. Каждая тема описана в ней эскизно, зато читатель может войти в курс дела быстрее, чем это позволяет любая монография.




Ненакопление к элементарному полициклу.
Полициклом называется связное объединение сепаратрис и особых точек векторного поля, которое не может быть стянуто по себе ни в какое свое собственное подмножество.

Полутрансверсалью к полициклу называется гладкая кривая, выходящая из точки на полицикле и не имеющая с ним других общих точек, если она трансверсальна векторному полю во всех своих точках.

Полицикл называется монодромным, если найдется полутрансвер-саль к полициклу такая, что
1) каждая траектория, выходящая из точки на полутрансверсали, достаточно близкой к вершине, пересекает полутрансверсаль еще раз;
2) для любой окрестности полицикла каждая траектория, выходящая из точки на полутрансверсали, достаточно близкой к вершине, остается в данной окрестности цикла до тех пор, пока не пересечет полутрансверсаль снова;
3) свойство (2) перестает выполняться, если из цикла выкинуть любую сепаратрису.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Глава 1 Летняя школа 1998.
Введение к первой главе.
1.1. Теорема конечности для предельных циклов.
1.1.1. Обзор.
1.1.2. Полиномиальное векторное иоле. Компактификация Пуанкаре.
1.1.3. Разрешение особенностей.
1.1.4. Ненакопление к элементарному полициклу.
1.1.5. Полурегулярные отображения.
1.1.6. Классификационная теорема.
1.1.7. Асимптотика отображения Пуанкаре.
1.1.8. От теоремы Дюлака до теоремы о ненакоплении.
1.2. Локальные и нелокальные бифуркации.
1.2.1. Нормальная форма деформации седлоузла.
1.2.2. Бифуркации двумерных седлоузлов.
1.2.3. Бифуркации трехмерных седлоузлов.
1.2.4. Гомоклинические поверхности седлоузлового цикла.
1.2.5. Бифуркация двух гомоклинических поверхностей.
1.2.6. От Морса—Смейла к Смейлу—Вильямсу.
1.3. Релаксационные колебания.
1.3.1. Основные определения.
1.3.2. Теорема Феничеля.
1.3.3. Падение.
1.3.4. Срыв. Ренормализация.
1.3.5. Осцилляционные быстро-медленные системы. Теорема Феничеля. Нормальная форма.
1.3.6. Нелокальные бифуркации и быстро-медленные системы. Проблемы.
1.4. Добавление: Рекуррентность для действий коммутативных групп.
1.4.1. Введение.
1.4.2. Теорема Биркгофа.
1.4.3. Действия коммутативных групп. Формулировка теоремы Фюрстенберга—Вайса.
1.4.4. Доказательство теоремы Фюрстенберга—Вайса.
1.4.5. Следствия теоремы Фюрстенберга—Вайса.
Глава 2 Летняя школа 2008.
Введение ко второй главе.
2.1. Аттракторы.
2.1.1. Как устроены типичные динамические системы?.
2.1.2. Аттракторы.
2.1.3. Перемежающиеся аттракторы.
2.2. Мини-вселенная динамических систем: косые произведения.
2.2.1. Косые произведения.
2.2.2. Почему «мини-вселенная»?.
2.3. Полиномиальные векторные поля: панорама с птичьего полета.
2.3.1. Введение.
2.3.2. Попытка Петровского—Ландиса.
2.3.3. Облегченные варианты 16-й проблемы Гильберта.
2.3.4. Немного истории.
2.4. Проблема Гильберта—Арнольда.
2.4.1. Равномерная оценка числа предельных циклов для полиномиальных уравнений.
2.4.2. Конечная цикличность полициклов полиномиальных векторных полей.
2.4.3. Усиленная проблема Гильберта—Арнольда.
2.5. Теорема о нулях и росте и ее приложения.
2.5.1. Теорема о нулях и росте.
2.5.2. Применение теоремы к дифференциальным уравнениям.
2.5.3. Дифференциальные уравнения в комплексной области.
2.5.4. Уравнение Льенара.
2.6. Квадратичные векторные поля.
2.6.1. Реальная цель.
2.6.2. Центры для А2.
2.6.3. Сингулярные квадратичные векторные поля.
2.6.4. Квадратичные векторные поля, близкие к центрам, но далекие от сингулярных.
2.6.5. Резюме.
2.7. Инфинитезимальная проблема Гильберта.
2.7.1. Стратегия Петровского и Ландиса.
2.7.2. Комплексификация и критерий Пуанкаре—Понтрягина.
2.7.3. Теорема о точности.
2.7.4. Топологическая часть теоремы о точности.
2.8. Еще об абелевых интегралах.
2.8.1. Алгебраическая часть теоремы о точности.
2.8.2. Оценки сверху числа нулей абелевых интегралов.
2.8.3. Основной определитель.
2.9. Нефубиниевский мир.
2.9.1. Инвариантные многообразия.
2.9.2. Примеры.
2.9.3. Теорема Феничеля о сохранении инвариантных многообразий.
2.9.4. Теория Хирша—Пью—Шуба.
2.9.5. Возмущение косых произведений.
2.9.6. Кошмар Фубини и его преодоление.
2.9.7. Специальная эргодичесекая теорема.
Литература.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Ильяшенко