Вычислительная линейная алгебра, Вержбицкий В.М., 2021

Вычислительная линейная алгебра, Вержбицкий В.М., 2021.

   Рассмотрены теория и практика получения треугольных, ортогональных и сингулярных разложений вещественных матриц. Показано, как эти разложения и лежащие в их основе преобразования используются для решения систем линейных алгебраических уравнений (в частности, плохо обусловленных и вырожденных), обращения и псевдообращения матриц, вычисления собственных и сингулярных значений, решения линейных задач о наименьших квадратах и некоторых других задач. Изложение материала сопровождается конкретными алгоритмами и числовыми примерами.
Для студентов вузов, обучающихся по математическим и техническим направлениям, а также для всех, кому важно знание современных численных методов линейной алгебры.




ВИДЫ ФАКТОРИЗАЦИЙ.
Факторизацией, или разложением, матрицы будем называть ее мультипликативное представление, т.е. представление в виде произведения нескольких матриц (обычно, двух - трех), обладающих теми или иными заданными свойствами. Процесс факторизации матриц осуществляется на основе различных линейных преобразований в соответствующих пространствах над векторами, отождествляемыми со столбцами или строками исходных матриц, а также матриц промежуточных этапов в применяемых алгоритмах.

Приведем несколько широко известных матричных разложений из тех, которые существенно -используются в дальнейшем.
Пусть А заданная вещественная квадратная матрица.
1. Треугольное разложение матрицы А, иначе называемое LU - разложением или LR - разложением, — это ее представление в виде А = LU, где L и U — соответственно нижняя (левая) и верхняя (правая) вещественные треугольные матрицы. У одной из матриц L пли U диагональные элементы обычно принимают равными единице.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Глава I. Разложения квадратных матриц.
§1.1. Виды факторизаций.
§1.2. LU -разложение.
§1.3. UТ U - и UТ DU - разложения.
§1.4. Преобразование Хаусхолдера и QR -разложение.
§1.5. QR -разложение на основе преобразований Гивенса
Упражнения.
Глава 2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
§2.1. Метод Гаусса (схема единственного деления).
§2.2. Решение СЛАУ и обращение матриц на основе LU -разложения.  
§2.3. Решение симметричных СЛАУ.
§2.4. Метод прогонки.
§2.5. Методы отражений и вращений.
Упражнения.
Глава 3. Итерационные методы решении СЛАУ.
§3.1. Некоторые общие сведения об итерационных процессах.
§3.2. Метод простых итераций.
§3.3. Методы Якоби, Зейделя и ПВР (SOR).
§3.4. О других подходах к построению итерационных методов.
§3.5. Итерационное обращение матриц.
Упражнения.
Глава 4. Задачи на собственные значения.
§4.1. Собственные пары матриц и некоторые их свойства.
§4.2. Степенной метод.
§4.3. Метод обратных итераций и RQI-алгоритм.
§4.4. Метод вращений Якоби решения симметричной полной проблемы собственных значений.
§4.5. Метод бисекций.
Упражнения.
Глава 5. QR - алгоритм.
§5.1. Понятие об LU-, UT U и QR -алгоритмах.
§5.2. Приведение матриц к форме Хессенберга.
§5.3. Факторизация матрицы Хессенберга.
§5.4. Сдвиги и понижение размерности в QR -алгоритме.
§5.5. Применение QR -алгоритма к вычислению корней многочлена.
Упражнения.
Глава 6. Сингулярное разложение прямоугольных матриц.
§6.1. Сингулярные числа и сингулярное разложение.
§6.2. Стратегия получения SVD-разложения. Этап двухдиагонализации.
§6.3. Разложение двухдиагональной матрицы.
§6.4. Понижение размерности, сборка результирующих матриц SVD-разложения.
Упражнения.
Глава 7. Применения сингулярных разложений.
§7.1. Ранг матрицы, модуль определителя, число обусловленности.
§7.2. Решение однородных и неоднородных СЛАУ.
§7.3. Псевдообратная матрица.
§7.4. Некоторые другие применения SVD-разложений.
§7.5. Два источника линейных задач наименьших квадратов (Л3НК).
§7.6, Особенности и методы решения ЛЗЫК.
Упражнения.
Глава 8. Факторы, влияющие на выбор метода.
§8.1. Арифметическая сложность метода.
§8.2. Численная устойчивость метода.
§8.3. Обусловленность задачи.
§8.4. Способы улучшения обусловленности.
§8.5. Неустойчивость решения и регуляризация.
Упражнения.
Приложение. Некоторые вспомогательные сведения.
Список литературы.
Предметный указатель.
Указатель обозначении и сокращении.
О6 авторе.

Купить .





Теги: учебник по алгебре :: алгебра :: Вержбицкий