Вычислительная линейная алгебра, Вержбицкий В.М., 2009

Вычислительная линейная алгебра, Вержбицкий В.М., 2009.
 
  Рассмотрены теория и практика получения треугольных, ортогональных и сингулярных разложений вещественных матриц. Показано, как эти разложения и лежащие в их основе преобразования используются для решения систем линейных алгебраических уравнений (в частности, плохо обусловленных и вырожденных), обращения и псевдообращения матриц, вычисления собственных и сингулярных значений, решения линейных задач о наименьших квадратах и некоторых других задач. Изложение материала сопровождается конкретными алгоритмами и числовыми примерами. Для студентов ВУЗов, обучающихся по математическим и техническим направлениям, а также для всех, кому важно знание современных численных методов линейной алгебры.



МЕТОД ГАУССА (СХЕМА ЕДИНСТВЕННОГО ДЕЛЕНИЯ).
Считается [9], что 75% всех расчетных математических задач приходится на решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это неудивительно, так как математические модели тех или иных явлений или процессов либо сразу строятся как линейные алгебраические, либо сводятся к таковым посредством дискретизации и/или линеаризации. Поэтому трудно переоценить роль, которую играет выбор эффективного (в том или ином смысле) способа решения СЛАУ. Современная вычислительная математика располагает большим арсеналом методов, а математическое обеспечение ЭВМ — многими пакетами прикладных программ, позволяющих решать различные возникающие на практике линейные системы.

Чтобы ориентироваться среди методов и программ и в нужный момент сделать оптимальный выбор, нужно разбираться в основах построений методов и алгоритмов, учитывающих специфику постановок задач, знать их сильные и слабые стороны и границы применимости. Имеющаяся довольно обширная статистика использования пакетов прикладных компьютерных программ показывает, что на практике чаще всего применяют самые примитивные широко известные численные методы решения тех или иных математически поставленных задач, хотя к ним можно было бы привлечь более эффективные численные методы, содержащиеся в тех же пакетах [58]. Этот факт объясняется только недостаточной подготовкой пользователей прикладных программ в области вычислительной математики.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава 1. Разложения квадратных матриц
§1.1. Виды факторизаций
§1.2. LU -разложение
§1.3. UTU- и UTDU - разложения
§1.4. Преобразование Хаусхолдера и QR-разложение
§1.5. QR -разложение на основе преобразований Гивенса
Упражнения
Глава 2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
§2.1. Метод Гаусса (схема единственного деления)
§2.2. Решение СЛАУ и обращение матриц на основе LU -разложения
§2.3. Решение симметричных СЛАУ
§2.4. Метод прогонки
§2.5. Методы отражений и вращений
Упражнения
Глава 3. Итерационные методы решения СЛАУ
§3.1. Некоторые общие сведения об итерационных процессах
§3.2. Метод простых итераций
§3.3. Методы Якоби, Зейделя и ПВР (SOR)
§3.4. О других подходах к построению итерационных методов
§3.5. Итерационное обращение матриц
Упражнения
Глава 4. Задачи на собственные значения
§4.1. Собственные пары матриц и некоторые их свойства
§4.2. Степенной метод
§4.3. Метод обратных итераций и RQI-алгоритм
§4.4. Метод вращений Якоби решения симметричной полной проблемы собственных значений
§4.5. Метод бисекций
Упражнения
Глава 5. QR -алгоритм
§5.1. Понятие об LU-, UTU- и QR-алгоритмах
§5.2. Приведение матриц к форме Хессенберга
§5.3. Факторизация матрицы Хессенберга
§5.4. Сдвиги и понижение размерности в QR -алгоритме
§5.5. Применение QR -алгоритма к вычислению корней многочлена
Упражнения
Глава 6. Сингулярное разложение прямоугольных матриц
§6.1. Сингулярные числа и сингулярное разложение
§6.2. Стратегия получения SVD-разложения. Этап двухдиагонализации
§6.3. Разложение двухдиагональной матрицы
§6.4. Понижение размерности, сборка результирующих матриц SVD-разложения
Упражнения
Глава 7. Применения сингулярных разложений
§7.1. Ранг матрицы, модуль определителя, число обусловленности
§7.2. Решение однородных и неоднородных СЛАУ
§7.3. Псевдообратная матрица
§7.4. Некоторые другие применения SVD-разложений
§7.5. Два источника линейных задач наименьших квадратов (ЛЗНК)
§7.6. Особенности и методы решения ЛЗНК
Упражнения
Глава 8. Факторы, влияющие на выбор метода
§8.1. Арифметическая сложность метода
§8.2. Численная устойчивость метода
§8.3. Обусловленность задачи
§8.4. Способы улучшения обусловленности
§8.5. Неустойчивость решения и регуляризация
Упражнения
Приложение. Некоторые вспомогательные сведения
Список литературы
Предметный указатель
Указатель обозначений и сокращений.

Купить книгу Вычислительная линейная алгебра, Вержбицкий В.М., 2009 .





Теги: учебник по алгебре :: алгебра :: Вержбицкий