Лекции по классической дифференциальной геометрии, Иванов А.О., Тужилин A.A.

Лекции по классической дифференциальной геометрии, Иванов А.О., Тужилин A.A.

Лекции по классической дифференциальной геометрии. Для студентов и учеников старших классов.




Примеры.
Доказать, что объединение двух отрезков, стыкующихся под произвольным углом, можно представить как образ гладкой параметрической кривой.
Так как у гладкой параметрической кривой вектор скорости непрерывно зависит от параметра, а направление этого вектора в “точках излома” меняется скачком, то в таких точках скорость должна равняться нулю. Точка гладкой параметрической кривой, в которой вектор скорости обращается в ноль, называется особой или сингулярной. Остальные точки - неособыми или регулярными. Запрещая точки с нулевой скоростью, т.е. особые точки, приходим к следующему определению.
Определение. Гладкая параметрическая кривая называется регулярной, если ее вектор скорости всюду отличен от нуля.
Таким образом, подмножество плоскости из упражнения нельзя задать как образ регулярной параметрической кривой (если угол отличен от развернутого).
Если две регулярные параметрические кривые пересекаются, то можно определить угол между этими кривыми как угол между векторами скоростей кривых в точке пересечения.

Показать, что образ гладкой кривой, в отличие, скажем, от кривой Пеано, не может содержать никакого открытого шара.
Хотя “одномерности” мы. возможно, и добились (во всяком случае, мы исключили из рассмотрения кривые типа кривой Пеано), тем не менее, интуитивное представление о гладкости как об отсутствии изломов не согласуется с данным определением. Совсем простой пример даст гладкая кривая x(t) = t3, y(t) = t2 на плоскости R2 с евклидовыми координатами (х,у). Более сложный, но более наглядный пример приведен в следующем обязательном упражнении.

Содержание
1 Кривые в евклидовом пространстве. Плоские кривые
1.1 Параметрические кривые
1.2 Кривые-графики и неявные кривые
1.3 Определение регулярной кривой
1.4 Длина кривой, натуральный параметр
1.5 Кривизна регулярной кривой
1.6 Плоские кривые
Задачи
Добавление
2 Кривые в трехмерном пространстве
2.1 Формулы Френе
2.2 Натуральные уравнения
Задачи
Добавление
3 Поверхности. Первая фундаментальная форма
3.1 Параметрические поверхности
3.2 Поверхности-графики и неявные поверхности
3.3 Определение регулярной поверхности
3.4 Отображения регулярной поверхности
3.5 Кривые, координатные линии, касательное пространство и канонический репер на регулярной поверхности
3.6 Индуцированная метрика или первая фундаментальная форма регулярной поверхности
3.7 Изометрии поверхностей
Задачи
Добавление
4 Поверхности. Вторая фундаментальная форма
4.1 Определение второй фундаментальной формы регулярной поверхности
4.2 Геометрический смысл второй формы — кривизны плоских сечений
4.3 Главные кривизны и главные направления
4.4 Средняя и гауссова кривизна гиперповерхности
4.5 О теореме Бонне
Задачи
Добавление
5 Элементы дифференциального исчисления на поверхностях
5.1 Деривационные формулы Вейнгартена-Гаусса
5.2 Теорема Гаусса
5.3 Ковариантная производная касательного векторного поля
Добавление
6 Геодезические на поверхностях
6.1 Определение и простейшие свойства геодезических
6.2 Примеры геодезических, теорема Клеро
Задачи
Добавление
7 Криволинейные координаты в области и на поверхности
7.1 Определение криволинейной системы координат
7.2 Примеры криволинейных систем координат
7.2.1 Евклидовы координаты
7.2.2 Линейная система координат
7.2.3 Полярная система координат
7.2.4 Цилиндрическая система координат
7.2.5 Сферические координаты
7.3 Касательное пространство к области в точке
7.4 Евклидова метрика в криволинейных координатах
7.4.1 Закон изменения компонент метрики при замене координат
7.4.2 Примеры вычисления евклидовой метрики
7.5 Криволинейные координаты на поверхностях
7.6 Стереографические координаты на сфере
Задачи
Добавление
8 Риманова и псевдориманова метрики
8.1 Риманова метрика и скалярное произведение
8.2 Билинейные формы и псевдориманова метрика
8.3 Пространство Минковского
Задачи
Добавление
9 Геометрия Лобачевского
9.1 Неевклидовы геометрии
9.1.1 Эллиптическая геометрия
9.1.2 Плоскость Лобачевского (гиперболическая геометрия)
9.2 Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского
9.3 Дробно линейные преобразования плоскости
9.4 Запись метрики в комплексной форме
9.5 Модель верхней полуплоскости
9.6 Изометрии плоскости Лобачевского
Задачи
Добавление
10 Топологические пространства
10.1 Метрические и топологические пространства
10.1.1 Метрические пространства
10.1.2 Топологические пространства
10.2 Непрерывные отображения
Задачи
Добавление
11 Классы топологических пространств
11.1 Связность
11.2 Аксиомы отделимости
11.3 Компактность
Задачи
Добавление
12 Многообразия
12.1 Топологические многообразия
12.2 Функции и отображения
12.3 Гладкие многообразия
12.4 Простейшие примеры гладких многообразий
12.5 Гладкие функции, гладкие отображения, диффеоморфизмы
12.6 Задание многообразий уравнениями — геометрический смысл теоремы о неявной функции
12.7 Подмногообразия
Задачи
Добавление
13 Касательное пространство к многообразию, дифференциал
13.1 Определение касательного вектора
13.2 Касательное расслоение
13.3 Определение дифференциала
13.4 Локальные свойства отображений
Задачи
Добавление
14 Вложения многообразий в евклидово пространство
14.1 Существование вложения
14.2 Теорема Сарда
14.3 Теорема Уитни
Задачи
Добавление
15 Дополнительные структуры: риманова метрика, ориентируемость
15.1 Риманова метрика, римановы многообразия
15.2 Изометрии
15.3 Ориентируемость многообразия
Задачи
Добавление
16 Классификация связных двумерных компактных многообразий
16.1 Склейки многоугольников
16.2 Заклеивание сферы
16.3 Теорема классификации
16.3.1 Триангуляции
16.3.2 Канонические склейки многоугольников
16.3.3 Последний шаг, эйлерова характеристика.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Лекции по классической дифференциальной геометрии, Иванов А.О., Тужилин A.A. - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Иванов :: Тужилин