Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2, Фихтенгольц Г.М., 2003

Курс дифференциального и интегрального исчисления, Том 2, Фихтенгольц Г.М., 2003.

   Второй том «Курса...» посвящен теории интеграла от функции одной вещественной переменной и теории рядов и предназначен, прежде всего, для студентов первых двух курсов негуманитарных вузов. Исключительно подробное, полное и снабженное многочисленными примерами изложение включает такие классические разделы анализа, как неопределенный интеграл и методы его вычисления, определенный интеграл Римана, несобственный интеграл, числовые и функциональные ряды, интегралы, зависящие от параметра, и др. Подробно излагаются и некоторые мало представленные или совсем не представленные в элементарных учебниках темы: бесконечные произведения, формула суммирования Эйлера-Маклорена и ее приложения, асимптотические разложения, теория суммирования и приближенные вычисления с помощью расходящихся рядов и др. Являясь одним из лучших систематических учебников по интегральному исчислению и, одновременно, уникальной коллекцией конкретных фактов, связанных с рядами и интегралами, данная книга, безусловно, будет полезна как учащимся, так и преподавателям высшей математики, а также специалистам различных профилей, использующим математику в своей работе, в том числе, математикам, физикам и инженерам.




Постановка задачи интегрирования в конечном виде.
Мы познакомились с элементарными приемами вычисления неопределенных интегралов. Эти приемы не предопределяют точно пути, по которому надлежит идти, чтобы вычислить данный интеграл, предоставляя многое искусству вычислителя. В этом и следующих параграфах мы остановимся подробнее на некоторых важных классах функций и по отношению к их интегралам установим вполне определенный порядок вычислений.

Теперь выясним, что именно нас будет интересовать при интегрировании функций упомянутых классов и по какому принципу будет произведено самое их выделение.

В 51 было охарактеризовано то многообразие функций, к которым в первую очередь применяется анализ; это — так называемые элементарные функции и функции, которые выражаются через элементарные с помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций (без предельного перехода).

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Глава восьмая ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ).
§1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления.
§2. Интегрирование рациональных выражений.
§3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы.
§4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и показательную функции.
§5. Эллиптические интегралы.
Глава девятая ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
§1. Определение и условия существования определенного интеграла.
§2. Свойства определенных интегралов.
§3. Вычисление и преобразование определенных интегралов.
§4. Некоторые приложения определенных интегралов.
§5. Приближенное вычисление интегралов.
Глава десятая ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ.
§1. Длина кривой.
§2. Площади и объемы.
§3. Вычисление механических и физических величин.
§4. Простейшие дифференциальные уравнения.
Глава одиннадцатая БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ.
§1. Введение.
§2. Сходимость положительных рядов.
§3. Сходимость произвольных рядов.
§4. Свойства сходящихся рядов.
§5. Повторные и двойные ряды.
§6. Бесконечные произведения.
§7. Разложения элементарных функций.
§8. Приближенные вычисления с помощью рядов. Преобразование рядов.
§9. Суммирование расходящихся рядов.
Глава двенадцатая ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ.
§1. Равномерная сходимость.
§2. Функциональные свойства суммы ряда.
§3. Приложения.
§4. Дополнительные сведения о степенных рядах.
§5. Элементарные функции комплексной переменной.
§6. Обвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера-Маклорена.
Глава тринадцатая НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
§1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
§2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
§3. Свойства и преобразование несобственных интегралов.
§4. Особые приемы вычисления несобственных интегралов.
§5. Приближенное вычисление несобственных интегралов.
Глава четырнадцатая ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.
§1. Элементарная теория.
§2. Равномерная сходимость интегралов.
§3. Использование равномерной сходимости интегралов.
§4. Дополнения.
§5. Эйлеровы интегралы.
Алфавитный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Фихтенгольц