Интегральные уравнения, Васильева А.Б., Тихонов Н.А., 2002

Интегральные уравнения, Васильева А.Б., Тихонов Н.А., 2002.

   Пособие знакомит с понятием интегрального уравнения, теоремой существования собственных значений и собственных функций однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Рассмотрены вопросы разложимости по собственным функциям, задача Штурма-Лиувилля, неоднородные интегральные уравнения Фредгольма второго рода, уравнения типа Вольтерра. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода рассматриваются как некорректно поставленная задача, в связи с чем излагаются основы регуляризирующего алгоритма А.Н. Тихонова. Приводятся некоторые сведения о численных методах теории интегральных уравнений. Излагаются также некоторые вопросы теории интегро-дифференциальных уравнений.
Для студентов вузов, обучающихся по специальностям «Физика» и «Прикладная математика».




Евклидово пространство.
Для изучения вопроса существования собственных значений и собственных функций однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода удобно воспользоваться аппаратом функционального анализа, который мы сейчас изложим.

Будем исходить из понятия бесконечномерного вещественного линейного пространства Н. Понятие линейного пространства введено в курсе линейной алгебры (см., например, [15]). Элементы линейного пространства называются векторами или точками.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие ко второму изданию.
Предисловие к первому изданию.
ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ.
§1. Понятие интегрального уравнения. Классификация интегральных уравнений.
§2. Физические примеры.
§3. Особенности постановок задач для уравнений Фредгольма.
ГЛАВА 2 СУЩЕСТВОВАНИЕ И СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНОГО ОПЕРАТОРА.
§4. Вполне непрерывные операторы в бесконечномерном евклидовом пространстве.
§5. Существование собственных векторов вполне непрерывного симметричного оператора.
§6. Свойства собственных значений и собственных векторов вполне непрерывного симметричного оператора.
ГЛАВА 3 ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА ВТОРОГО РОДА.
§7. Собственные функции и собственные значения однородного уравнения Фредгольма второго рода.
§8. Определение собственных значений и собственных функций по методу Келлога.
§9. Вырожденные ядра.
ГЛАВА 4 РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ.
§10. Теорема Гильберта-Шмидта.
§11. Повторные ядра.
§12. Теорема Мерсера.
§13. Ослабление требований на ядро.
ГЛАВА 5 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ (ЗАДАЧА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ).
§14. Задача о колебаниях струны.
§15. Исследование задачи Штурма-Лиувилля сведением к интегральному уравнению Фредгольма второго рода.
ГЛАВА 6 НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА ВТОРОГО РОДА.
§16. Случай симметричного ядра.
§17. Случай “малого”.
§18. Теоремы Фредгольма.
§19. Резольвента непрерывного несимметричного ядра при “больших”.
§20. Уравнение с ядром, зависящим от разности аргументов.
ГЛАВА 7 УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА ВТОРОГО РОДА.
§21. Существование и единственность решения.
§22. Резольвента для уравнения Вольтерра.
§23. Уравнения Вольтерра с ядром, зависящим от разности аргументов.
ГЛАВА 8 ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА.
§24. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода как некорректно поставленная задача.
§25. Сглаживающий функционал и его свойства.
§26. Построение приближенного решения уравнения Фредгольма первого рода.
ГЛАВА 9 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
§27. Интегральные уравнения второго рода.
§28. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода.
ГЛАВА 10 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ.
§29. Различные виды интегро-дифференциальных уравнений.
§30. Физические примеры.
§31. Интегро-дифференциальные уравнения с интегральным оператором типа Вольтерра.
§32. Интегро-дифференциальные уравнения с интегральным оператором типа Фредгольма.
§33. Сингулярно возмущенные интегро-дифференциальные уравнения.
Литература.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Васильева :: Тихонов