Функциональный анализ, Специальный курс, Вайнберг М.М., 1979

Функциональный анализ, Специальный курс, Вайнберг М.М., 1979.

    Учебное пособие по программе физико-математических факультетов педагогических институтов представляет собой введение в функциональный анализ. В книге нашли отражение не только основные понятия в результаты (теоремы Хана—Банаха, Штенгауза и т. д.), но и приложения функционального анализа.




МЕТОД ГАЛЕРКИНА — ПЕТРОВА РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Здесь мы воспользуемся методом Галеркина и некоторыми его модификациями для нахождения приближенных решений нелинейных уравнений с монотонными операторами. Как известно, метод Галеркина широко применяется в теории дифференциальных и интегральных уравнений. Достаточно заметить, что этот метод был использован в работах М. И. Вишика при доказательстве установленных им фундаментальных теорем о разрешимости граничных задач для систем квазилинейных дифференциальных уравнений сильно эллиптического типа. Этим методом также пользовались Ж. Лере и Ж. Лионс при доказательстве некоторых предложений М. И. Вишика применяя при этом теорию монотонных операторов.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Введение.
Глава I. Метрические пространства.
§1. Основные понятия и аксиомы метрического пространства.
1.1. Примеры.
1.2. Основные понятия.
1.3. Пространство непрерывных функции.
§2. Принцип сжимающих отображений.
2.1. Отображения в метрических пространствах.
2.2. Теорема существования неподвижной точки преобразования.
2.3. Теорема Коши для дифференциальных уравнений.
Глава II. Линейные пространства.
§3. Линейные или векторные пространства.
3.1. Аксиомы линейного пространства.
3.2. Некоторые вспомогательные понятия.
§4. Нормированные и банаховы пространства.
4.1. Основные понятия.
4.2. Пространства C, Lp, 1р.
4.3. Абстрактное гильбертово пространство.
4.4. Неравенство Коши и треугольника.
§5. Топологические и топологические линейные пространства.
5.1. Общие топологические пространства.
5.2. Топологические линейные пространства.
Глава III. Линейные операторы.
§6. Предварительные понятия и простейшие предложения.
6.1. Ограниченность и норма.
6.2. Критерий ограниченности линейных операторов.
6.3. Последовательности линейных операторов.
6.4. Сильная и равномерная сходимости. Связь между ними.
§7. Пространство линейных ограниченных операторов.
7.1. Полнота пространства L (Ех, Eg).
7.2. Сопряженное пространство и его полнота.
§8. Теорема Банаха — Штейнгауза.
8.1. Вспомогательное предложение.
8.2. Теорема Банаха — Штейнгауза.
§9. Обратный оператор.
9.1. Линейность оператора, обратного к линейному.
9.2. Критерий ограниченности обратного оператора.
9.3. Теорема Банаха об обратном операторе.
Глава IV. Дальнейшее исследование линейных операторов и линейных пространств.
§10. Замкнутые операторы.
10.1. Вспомогательные понятия.
10.2. Пример замкнутого оператора, не являющегося ограниченным.
§11. Ортогональность в гильбертовом пространстве. Основные теоремы.
11.1. Ортогональное дополнение к замкнутому подпространству
11.2. Теорема о разложении пространства в ортогональную сумму подпространств.
§12. Представление линейных непрерывных функционалов в гильбертовом пространстве.
§13. Представление линейных непрерывных функционалов в некоторых других пространствах.
13.1. Представление линейных непрерывных функционалов в пространствах Лебега.
13.2. Общий вид линейного непрерывного функционала в пространстве lp (р > 1).
13.3. Представление линейных непрерывных функционалов на пространстве непрерывных функций.
13.4. Теорема Хана — Банаха и некоторые ее следствия.
§14. Сопряженные операторы.
14.1. Ограниченность сопряженного оператора.
14.2. Второе сопряженное пространство.
Глава V. О некоторых видах сходимости элементов нормированного пространства.
§15. О сильной и слабой сходимости.
15.1. Основные понятия и вспомогательные предложения.
15.2. Связь между сильной и слабой сходимостями.
15.3. Основные теоремы о совпадении сильной и слабой сходимостей.
15.4. Некоторые предложения о слабом пределе.
§16. О секвенциально слабо замкнутых множествах в нормированных пространствах.
§17. О слабой сходимости функционалов.
§18. О слабой полноте и слабой компактности пространств.
Глава VI. Некоторые вопросы нелинейного анализа.
§19. О некоторых видах непрерывности нелинейных отображений.
19.1. Основные определения.
19.2. Связь между усиленной и полной непрерывностью.
§20. Произвольная и градиент функционала.
20.1. Примеры вычисления градиентов.
20.2. Формула Лагранжа и неравенство Липшица.
§21. Дифференцируемость по Фреше.
21.1. Связь между производными по Гато и по Фреше.
21.2. Основная теорема.
§22. Потенциальные операторы.
22.1. Оператор Немыцкого.
22.2. Условия потенциальности операторов.
22.3. Связь между потенциальными операторами и его потенциалом
§23. Сопряженные и самосопряженные нелинейные операторы.
23.1. Сопряженные нелинейные операторы и их простейшие свойства.
23.2. Симметрия и кососимметрия.
23.3. Условия сопряженности.
§24. Выпуклые функционалы и монотонные операторы.
24.1. Два определения выпуклого функционала и их эквивалентность.
24.2. Связь между выпуклостью функционала и монотонностью его градиента.
§25. Полунепрерывные и слабо полунепрерывные снизу функционалы.
25.1. О слабой полунепрерывности снизу выпуклых и дифференцируемых по Гато функционалов.
25.2. Критерий слабой полунепрерывности снизу функционалов.
25.3. Опорный функционал (субградиент) и его связь со слабой полунепрерывностью.
§26. Теоремы существования и единственности минимума.
26.1. Экстремальные точки функционалов и обобщенная теорема Вейерштрасса.
26.2. Элементарный принцип критической точки.
26.3. Теоремы существования критических точек.
§27. Вариационный метод исследования нелинейных уравнений.
27.1. Идея метода.
27.2. Теоремы существования решений.
§28. Минимизирующие последовательности.
28.1. Минимизирующие последовательности и некоторые их свойства.
28.2. Корректная постановка задачи минимизации.
28.3. Метод наискорейшего спуска.
28.4. Метод Ритца.
28.5. Метод Ньютона — Канторовича.
§29. Монотонные операторы.
29.1. Основные понятия и вспомогательные предложения.
29.2. Основные теоремы о монотонных отображениях.
§30. Метод Галеркина — Петрова решения нелинейных уравнений.
30.1. Приближения и системы Галеркина
30.2. Связь с проекционными методами.
30.3. О разрешимости систем Галеркина.
30.4. О некоторых свойствах галеркинских приближений.
30.5. О сходимости галеркинских приближений к решению нелинейных функциональных уравнений.
Дополнения.
Использованная литература.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Вайнберг