Конспект лекций по высшей математике, часть 1, Письменный Д.Т., 2005

Конспект лекций по высшей математике, Часть 1, Письменный Д.Т., 2005.

   Настоящий курс лекций предназначен для всех категорий студентов вузов, изучающих в том или ином объеме высшую математику.
Первая часть содержит необходимый материал по 9-ти разделам курса высшей математики, которые обычно изучаются студентами на первом курсе вуза (техникума) линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве, комплексные числа, и основы математического анализа (функции, пределы, производная, определенный и неопределенный интеграл, функции нескольких переменных).
Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступном, по возможности строгом языке.




ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.
Линия на, плоскости часто задается как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).

Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел — ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(x;у) — 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.
§1. Матрицы.
1.1. Основные понятия.
1.2. Действия над матрицами.
§2. Определители.
2.1. Основные понятия.
2.2. Свойства определителей.
§3. Невырожденные матрицы.
3.1. Основные понятия.
3.2. Обратная матрица.
3.3. Ранг матрицы.
§4. Системы линейных уравнений.
4.1. Основные понятия.
4.2. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
4.3. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера.
4.4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
4.5. Системы линейных однородных уравнений.
Глава II. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.
§5. Векторы.
5.1. Основные понятия.
5.2. Линейные операции над векторами.
5.3. Проекция вектора на ось.
5.4. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы.
5.5. Действия над векторами, заданными проекциями.
§6. Скалярное произведение векторов и его свойства.
6.1. Определение скалярного произведения.
6.2. Свойства скалярного произведения.
6.3. Выражение скалярного произведения через координаты.
6.4. Некоторые приложения скалярного произведения.
§7. Векторное произведение векторов и его свойства.
7.1. Определение векторного произведения.
7.2. Свойства векторного произведения.
7.3. Выражение векторного произведения через координаты.
7.4. Некоторые приложения векторного произведения.
§8. Смешанное произведение векторов.
8.1. Определение смешанного произведения, его геометрический смысл.
8.2. Свойства смешанного произведения.
8.3. Выражение смешанного произведения через координаты.
8.4. Некоторые приложения смешанного произведения.
Глава III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ.
§9. Система координат на плоскости.
9.1. Основные понятия.
9.2. Основные приложения метода координат на плоскости.
9.3. Преобразование системы координат.
§10. Линии на плоскости.
10.1. Основные понятия.
10.2. Уравнения прямой на плоскости.
10.3. Прямая линия на плоскости. Основные задачи.
§11. Линии второго порядка на плоскости.
11.1. Основные понятия.
11.2. Окружность.
11.3. Эллипс.
11.4. Гипербола.
11.5. Парабола.
11.6. Общее уравнение линий второго порядка.
Глава IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.
§12. Уравнения поверхности и линии в пространстве.
12.1. Основные понятия.
12.2. Уравнения плоскости в пространстве.
12.3. Плоскость. Основные задачи.
12.4. Уравнения прямой в пространстве.
12.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачи.
12.6. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи.
12.7. Цилиндрические поверхности.
12.8. Поверхности вращения. Конические поверхности.
12.9. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
Глава V. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ.
§13. Множества. Действительные числа.
13.1. Основные понятия.
13.2. Числовые множества. Множество действительных чисел.
13.3. Числовые промежутки. Окрестность точки.
§14. Функция.
14.1. Понятие функции.
14.2. Числовые функции. График функции. Способы задания функций.
14.3. Основные характеристики функции.
14.4. Обратная функция.
14.5. Сложная функция.
14.6. Основные элементарные функции и их графики.
§15. Последовательности.
15.1. Числовая последовательность.
15.2. Предел числовой последовательности.
15.3. Предельный переход в неравенствах.
15.4. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы.
§16. Предел функции.
16.1. Предел функции в точке.
16.2. Односторонние пределы.
16.3. Предел функции при х → ∞.
16.4. Бесконечно большая функция (б.б.ф.).
§17. Бесконечно малые функции (б.м.ф.).
17.1. Определения и основные теоремы.
17.2. Связь, между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией.
17.3. Основные теоремы о пределах.
17.4. Признаки существования пределов.
17.5. Первый замечательный предел.
17.6. Второй замечательный предел.
§18. Эквивалентные бесконечно малые функции.
18.1. Сравнение бесконечно малых функций.
18.2.Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них.
18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций.
§19. Непрерывность функций.
19.1. Непрерывность функции в тонко.
19.2. Непрерывность функции в интервале и па отрезке.
19.3.Точки разрыва функции и их классификация.
19.4.Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций.
19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
§20. Производная функции.
20.1. Задачи, приводящие к понятию производной.
20.2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой.
20.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
20.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций.
20.5. Производная сложной и обратной функций.
20.6. Производные основных элементарных функций.
20.7. Гиперболические функции и их производные.
20.8. Таблица производных.
§21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.
21.1.  Неявно заданная функция.
21.2.  Функция, заданная параметрически.
§22. Логарифмическое дифференцирование.
§23. Производные высших порядков.
23.1.  Производные высших порядков явно заданной функции.
23.2. Механический смысл производной второго порядка.
23.3.Производные высших порядков неявно заданной функции.
23.4. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически.
§24. Дифференциал функции.
24.1.  Понятие дифференциала функции.
24.2.  Геометрический смысл дифференциала функции.
24.3.  Основные теоремы о дифференциалах.
24.4. Таблица дифференциалов.
24.5.  Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
24.6. Дифференциалы высших порядков.
§25. Исследование функций при помощи производных.
25.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях.
25.2. Правила Лопиталя.
25.3. Возрастание и убывание функций.
25.4. Максимум и минимум функций.
25.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
25.6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
25.7. Асимптоты графика функции.
25.8. Общая схема исследования функции и построения графика.
§26. Формула Тейлора.
26.1. Формула Тейлора для многочлена.
26.2.Формула Тейлора для произвольной функции.
Глава VI. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.
§27. Понятие и представления комплексных чисел.
27.1. Основные понятия.
27.2. Геометрическое изображение комплексных чисел.
27.3. Формы записи комплексных чисел.
§28. Действия над комплексными числами.
28.1. Сложение комплексных чисел.
28.2. Вычитание комплексных чисел.
28.3. Умножение комплексных чисел.
28.4. Деление комплексных чисел.
28.5. Извлечение корней из комплексных чисел.
Глава VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
§29. Неопределенный интеграл.
29.1. Понятие неопределенного интеграла.
29.2. Свойства неопределенного интеграла.
29.3. Таблица основных неопределенных интегралов.
§30. Основные методы интегрирования.
30.1. Метод непосредственного интегрирования.
30.2. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной).
30.3. Метод интегрирования по частям.
§31. Интегрирование рациональных функций.
31.1. Понятия о рациональных функциях.
31.2. Интегрирование простейших рациональных дробей.
31.3. Интегрирование рациональных дробей.
§32. Интегрирование тригонометрических функций.
32.1. Универсальная тригонометрическая подстановка.
32.2. Интегралы типа sinm х • cosn x dx.
32.3. Использование тригонометрических преобразований.
§33. Интегрирование иррациональных функций.
33.1. Квадратичные иррациональности.
33.2. Дробно-линейная подстановка.
33.3. Тригонометрическая подстановка.
33.4. Интегралы типа R(x; √ах2 + bх + с) dx.
33.5. Интегрирование дифференциального бинома.
§34. «Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы.
Глава VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
§35. Определенный интеграл как предел интегральной суммы.
§36. Геометрический и физический смысл определенного интеграла.
§37. Формула Ньютона-Лейбница.
§38. Основные свойства определенного интеграла.
§39. Вычисления определенного интеграла.
39.1. Формула Ньютона-Лейбница.
39.2. Интегрирование подстановкой (заменой переменной).
39.3. Интегрирование по частям.
39 4. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах.
§40. Несобственные интегралы.
40.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода).
40.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода).
§41. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.
41.1. Схемы применения определенного интеграла.
41.2. Вычисление площадей плоских фигур.
41.3. Вычисление длины дуги плоской кривой.
41.4. Вычисление объема тела.
41.5. Вычисление площади поверхности вращения.
41.6. Механические приложения определенного интеграла.
§42. Приближенное вычисление определенного интеграла.
42.1. Формула прямоугольников.
42.2. Формула трапеций.
42.3. Формула парабол (Симпсона).
Глава IX. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
§43. Функции двух переменных.
43.1. Основные понятия.
43.2. Предел функции.
43.3. Непрерывность функции двух переменных.
43.4. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области.
§44. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных.
44.1. Частные производные первого порядка и их геометрическое истолкование.
44.2. Частные производные высших порядков.
44.3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции.
44.4. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.
44.5. Дифференциалы высших порядков.
44.6. Производная сложной функции. Полная производная.
44.7. Инвариантность формы полного дифференциала.
44.8. Дифференцирование неявной функции.
§45. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
§46. Экстремум функции двух переменных.
46.1. Основные понятия.
46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума.
46.3. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.
Справочные материалы.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Конспект лекций по высшей математике, часть 1, Письменный Д.Т., 2005 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по высшей математике :: высшая математика :: Письменный