Алгебра и теория чисел, Сборник задач для математических школ, Алфутова Н.Б., Устинов А.В., 2009

Алгебра и теория чисел, Сборник задач для математических школ, Алфутова Н.Б. Устинов А.В., 2009.

   Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике, предназначенный прежде всего для учеников старших классов с углубленным изучением математики, интересующихся точными науками. Он также будет полезен преподавателям математики и студентам, изучающим математику в высших учебных заведениях. Значительная часть материала может быть использована для подготовки к письменным и устным вступительным экзаменам в ВУЗы.
Основу сборника составляют задачи к курсу алгебры, который читался в школе-интернате им. А. Н. Колмогорова при МГУ им. М. В. Ломоносова в 1995—2000 годах.




Комбинаторика.
В языке одного древнего племени было 6 гласных и 8 согласных, причем при составлении слов гласные и согласные непременно чередовались. Сколько слов из девяти букв могло быть в этом языке?

Пассажир оставил вещи в автоматической камере хранения, а когда пришел получать вещи, выяснилось, что он забыл номер. Он только помнит, что в номере были числа 23 и 37. Чтобы открыть камеру, нужно правильно набрать пятизначный номер. Каково наименьшее количество номеров нужно перебрать, чтобы наверняка открыть камеру? (Числа 23 и 37 можно увидеть и в числе 237.).

На двух клетках шахматной доски стоят черная и белая фишки. За один ход можно передвинуть любую из них на соседнюю по вертикали или по горизонтали клетку. (две фишки не могут стоять на одной клетке). Могут ли в результате таких ходов встретится все возможные варианты расположения этих двух фишек, причем ровно по одному разу?

Содержание.
Предисловие.
Обозначения.
1. Метод математической индукции.
1.1. Тождества, неравенства и делимость.
1.2. Индукция в геометрии и комбинаторике.
2. Комбинаторика
2.1. Сложить или умножить?.
2.2. Принцип Дирихле.
2.3. Размещения, перестановки и сочетания.
2.4. Формула включений и исключений.
2.5. Числа Каталана.
3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики.
3.1. Простые числа.
3.2. Алгоритм Евклида.
3.3. Мультипликативные функции.
3.4. Числа Фибоначчи.
3.5. Цепные дроби.
3.6. Континуанты.
4. Арифметика остатков.
4.1. Четность.
4.2. Делимость.
4.3. Сравнения.
4.4. Теоремы Ферма и Эйлера.
4.5. Признаки делимости.
4.6. Китайская теорема об остатках.
5. Числа, дроби, системы счисления
5.1. Рациональные и иррациональные числа.
5.2. Десятичные дроби.
5.3. Двоичная и троичная системы счисления.
6. Многочлены.
6.1. Квадратный трехчлен.
6.2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Везу.
6.3. Разложение на множители.
6.4. Многочлены с кратными корнями.
6.5. Теорема Виета.
6.6. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
7. Комплексные числа
7.1. Комплексная плоскость.
7.2. Преобразования комплексной плоскости.
7.3. Целые гауссовы числа.
8. Алгебра + геометрия
8.1. Геометрия помогает алгебре.
8.2. Комплексные числа и геометрия.
8.3. Тригонометрия.
9. Уравнения и системы.
9.1. Уравнения третьей степени.
9.2. Тригонометрические замены.
9.3. Итерации.
9.4. Системы линейных уравнений.
10. Неравенства.
10.1. Различные неравенства.
10.2. Суммы и минимумы.
10.3. Выпуклость.
10.4. Симметрические неравенства.
11. Последовательности и ряды.
11.1. Конечные разности.
11.2. Рекуррентные последовательности.
11.3. Производящие функции.
11.4. Многочлены Гаусса.
12. Шутки и ошибки Ответы, указания, решения.
Глава 1.
Глава 2.
Глава 3.
Глава 4.
Глава 5.
Глава 6.
Глава 7.
Глава 8.
Глава 9.
Глава 10.
Глава 11.
Глава 12.
A. Программа курса.
B. Источники задач и ссылки на дополнительную литературу.
C. Формулы и числа.
I. Греческий алфавит.
II. Треугольник Паскаля и числа Фибоначчи.
III. (1, 2)-треуголник Паскаля и числа Люка.
IV. Константы.
V. Десятичные периоды дробей 1/р.
VI. Первые 20 греческих числовых приставок.
VII. Последовательности.
VIII. Многочлены.
IX. Основные тригонометрические тождества.
X. Таблица простых чисел.
XI. Таблица квадратов.
Литература.
Предметный указатель.

Купить .

Купить .





Теги: задачник по алгебре :: алгебра :: Алфутова :: Устинов